微积分A(2)
大一下学期微积分A(2)的复习笔记，目前更新至含参积分。
一、多元微分
- 赋范线性空间 $\mathbb R^n$
- $\mathbb R^n$ 中非空的道路连通的开集称为开区域，开区域的闭包称为闭区域
- 道路联通的闭集不一定是闭区域
- 凸区域：$\forall x,y\in\Omega,\lambda x+(1-\lambda)y\in\Omega$
- 极限与连续
- 若 $x_0$ 是 $\Omega$ 的孤立点，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续
- 在开区域中定义的初等函数处处连续
- $|f(x)|\le M|g(x)|$，则 $f(x)=O(g(x))\Leftrightarrow g(x)=\Omega(f(x))$
- $f$ 为连续函数当且仅当开集的原像为开集
- 导数与微分
- 不可微时即使偏导函数都存在也不存在梯度
- 隐函数定理(1)：$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$ 可逆 $\Rightarrow \frac{\partial y}{\partial x}=-(\frac{\partial F}{\partial y})^{-1}\frac{\partial F}{\partial x}$
- 隐函数定理(2)：$\frac{\partial y}{\partial x_i}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_i}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$
- 逆映射定理：$J(F)|_{x_0}$ 可逆 $\Rightarrow J(f^{-1})=(J(f))^{-1}$
- $\mathrm{Taylor}$ 公式
- $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(h_1\frac{\partial}{\partial x_1}+h_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\cdots+h_m\frac{\partial}{\partial x_m})^kf(x_0)+o(|x-x_0|^n)$
- $f(x)=f(x_0)+J_f(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^T H_f(x_0)(x-x_0)+o(||x-x_0||^2)$
- 空间曲线与曲面
- 详见线性代数(1)
- $z=f(x,y)$ 法向量：$(-f^{\prime}x,-f^{\prime}y,1)$
- $F(x,y,z)=0$ 法向量：$\nabla F$
- 无条件极值与条件极值
- 驻点 $+$ $\mathrm{Hesse}$ 矩阵正定或负定 $\Rightarrow$ 无条件极值（反之不成立）
- 拉乘求得的解一定是条件最值但不一定是极值（需验算 $\mathrm{Hesse}$ 矩阵）
- 存在函数 $f(x,y)=x^2+y^2(1-x)^3$ 使得函数在 $\mathbb R^2$ 上一阶连续可微且存在唯一极值点，但该极值点不是最值点
- 例题
- $(2021)$ 已知函数 $f(x,y)$ 在 $(1,1)$ 处可微，且 $f(1,1)=1,f^{\prime}_x(1,1)=2,f^{\prime}_y(1,1)=3$，设 $g(x)=f(x,f(x,x))$，求 $g^{\prime}(1)$
- $(2021)$ 已知 $(axy^3-y^2\cos x)\mathrm{d}x+(1+by\sin x+3x^2y^2)\mathrm{d}y$ 为某一函数 $f(x,y)$ 的全微分，求 $a,b$ 的值及 $f(x,y)$
- $(2023)$ 设函数 $f(x,y)$ 在 $\mathbb R^2$ 上二次连续可微，对 $\forall \theta \in \mathbb R$，令 $g_\theta(t)=f(t\cos\theta,t\sin\theta)$，假设 $\frac{\mathrm{d}g_\theta(t)}{\mathrm{d}t}\vert_{t=0}=0$ 且 $\frac{\mathrm{d}^2g_\theta(t)}{\mathrm{d}t^2}\vert_{t=0}\gt 0,\forall \theta \in \mathbb R$，证明函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值
- $(2023)$ 根据隐函数定理，证明方程组 $\begin{cases}x^3+y^3=2z^3\\x+y+z=3\end{cases}$ 在点 $(1,1,1)$ 附近确定了两个 $C^{\infty}$ 类隐函数 $y=y(x),z=z(x)$，并证明隐函数 $z=z(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值
- $(2024)$ 设可微函数 $u(x,y)$ 满足 $u(x,x^2)=1$ 且 $\frac{\partial u}{\partial x}(x,x^2)=x$，求 $\frac{\partial u}{\partial y}(x,x^2)$
- $(2023)$ 已知椭球面 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{2}=1$ 与平面 $x+2y+2z=0$ 的交线是椭圆，其在 $Oxy$ 平面上的投影曲线 $\Tau$ 也是椭圆，求 $\Tau$ 的四个顶点坐标
- $(3.15)$ 在方程 $(xy+z)\frac{\partial z}{\partial x}+(1-y^2)\frac{\partial z}{\partial y}=x+yz$ 中作代换 $u=yz-x,v=xz-y,w=xy-z$，其中视 $w$ 是 $u,v$ 的函数，求代换后的方程
- $(3.26)$ 曲线 $S$ 由方程 $ax+by+cz=G(x^2+y^2+z^2)$ 确定，试证明：曲线 $S$ 上任一点的法线与某定直线相交
- $(3.27)$ 求两曲面 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$ 的交线在 $xy$ 平面上的投影曲线的切线方程
- $(4.34)$ 证明：椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 与平面 $Ax+By+Cz=0$ 相交所截的椭圆面积为 $S=\pi abc\sqrt{\frac{A^2+B^2+C^2}{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2}}$
- 证明题
- $(2021)$ 已知函数 $f(x,y)$ 对每个变量 $x,y$ 分别连续，且对每个固定的 $x$，函数 $f(x,y)$ 对 $y$ 单调，证明：$f(x,y)$ 作为二元函数是连续函数
- $(2023)$ 对在 $\mathbb R^2$ 上连续可微的函数 $g(x,y)$，假设曲线 $\{(x,y)\in \mathbb R^2|g(x,y)=0\}$ 具有无穷大符号 $\infty$ 的形状，问函数 $g(x,y)$ 在 $\mathbb R^2$ 上至少有多少个驻点？并证明你的结论。
- $(2024)$ 设 $D\subset\mathbb R^2$ 是一个非空有界闭区域，$f$ 是 $D$ 上的连续函数，证明：至多只有一个函数 $u(x,y)$ 在 $D$ 上连续，在 $D$ 的内部 $\mathring D$ 为 $C^2$ 类，且满足 $\begin{cases} u^{\prime\prime}_{xx}+u^{\prime\prime}_{yy}=e^u,(x,y)\in \mathring D\\u=f,(x,y) \in \partial D\end{cases}$
- $(2024)$ 设 $K$ 是 $\mathbb R^k$ 的非空有界闭子集，函数 $f:\mathbb R^m\times K\to \mathbb R$ 连续，记 $\displaystyle g(\mathrm{x})=\min_{\mathrm{y}\in K}f(\mathrm{x},\mathrm{y})$，证明：$g:\mathbb R^m\to \mathbb R$ 连续
- $(2.12)$ 设 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ 存在，$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ 连续，证明：$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微
- $(3.11)$ 设 $u=f(z)$，其中 $z$ 是由方程 $z=x+y\varphi(z)$ 所定义的变量为 $x,y$ 的隐函数，求证：$\displaystyle \frac{\partial^n u}{\partial y^n}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left((\varphi(z))^n\frac{\partial u}{\partial x}\right)$，其中 $\varphi(z)$ 无穷次可微
- $(4.11)$ $f$ 在 $\mathbb R^2$ 上一阶连续可微，且 $\forall (x,y)\neq (0,0)$，有 $xf^{\prime}_x(x,y)+yf^{\prime}_y(x,y)\gt 0$，证明：原点是 $f$ 的唯一极小值点，且 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
- $(4.13)$ 已知 $D=\{(x,y):0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1\},f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey$，且 $\forall (x,y)\in \partial D$，有 $f(x,y)\le 0$，证明：$\forall (x,y)\in D$，有 $f(x,y)\le 0$
二、含参积分
- 含参定积分的性质（参数范围为有限闭区间）
- 连续、可积：$f(x,y)$ 在 $[a,b]\times [\alpha,\beta]$ 上连续
- 可微：$f(x,y),f^{\prime}_y(x,y)$ 在 $[a,b]\times [\alpha,\beta]$ 上连续
- 可微的计算：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f^{\prime}_y(x,y)\mathrm{d}x+f(\beta(y),y)\cdot\beta^{\prime}(y)-f(\alpha(y),y)\cdot\alpha^{\prime}(y)$
- 含参广义积分的性质（参数范围为有限闭区间）
- 连续、可积
- $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty)\times [\alpha,\beta]$ 上连续（同定积分）
- $\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上一致收敛
- 可微
- $f(x,y),f^{\prime}_y(x,y)$ 在 $[a,+\infty)\times [\alpha,\beta]$ 上连续（同定积分）
- $\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上逐点收敛
- $\displaystyle \int_a^{+\infty}f^{\prime}_y(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上一致收敛
- 连续、可积
- 二元无穷限累次积分的性质（参数范围为无穷限区间）
- 交换积分次序
- $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty)\times [\alpha,+\infty)$ 上连续（同定积分）
- $\displaystyle \forall \beta\gt \alpha,\int_a^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上一致收敛
- $\displaystyle \forall b\gt a,\int_\alpha^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}y$ 在 $x\in[a,b]$ 上一致收敛
- $\displaystyle \int_\alpha^{+\infty}\mathrm{d}y\int_a^{+\infty}\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}x$ 和 $\displaystyle \int_a^{+\infty}\mathrm{d}x\int_\alpha^{+\infty}\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}y$ 中至少有一个存在
- 交换积分次序
- 含参广义积分判敛
- 方法
- 定义
- $\mathrm{Cauchy}$
- $\mathrm{Weierstrass}$
- $\mathrm{Dirichlet}$
- $\mathrm{Abel}$
- 技巧
- 连续延拓
- 取任意闭区间 $[a,b]$ 逼近开区间
- 注意事项
- 技巧2.2只能用于连续不能用于一致收敛
- 一致收敛是连续的充分非必要条件
- 方法
- 技巧与例题
- 微分方程的求解：详见微积分A(1)
- 常用积分公式：$\begin{cases}\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C\\\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C\end{cases}$
- $(2024)$ 设 $\displaystyle I(y)=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\sin(2xy)\mathrm{d}x$，证明：$\displaystyle I(y)=e^{-y^2}\int_0^y e^{-t^2}\mathrm{d}t$
- $(5.26)$ 试利用积分 $\displaystyle \varphi(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x^2(1+u^2)}}{1+u^2}\mathrm{d}u$ 计算积分 $\displaystyle I=\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\mathrm{d}x$
- 证明题
- $(5.4)$ 证明：$\mathrm{Bessel}$ 函数 $\displaystyle I_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos(n\varphi-x\sin\varphi)\mathrm{d}\varphi,n\in \mathbb Z$ 满足 $\mathrm{Bessel}$ 方程 $x^2I^{\prime\prime}_n(x)+xI^{\prime}_n(x)+(x^2-n^2)I_n(x)=0$
- $(5.17)$ 证明：$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin x^2y}{x}\mathrm{d}x$ 在 $y\in (0,+\infty)$ 不一致收敛，但连续
微积分A(2)
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