微积分A(2)

大一下学期微积分A(2)的复习笔记，目前已完结。

一、多元微分

1. 赋范线性空间

1. $\mathbb R^n$ 中非空的道路连通的开集称为开区域，开区域的闭包称为闭区域
2. 道路联通的闭集不一定是闭区域
3. 凸区域：$\forall x,y\in\Omega,\lambda x+(1-\lambda)y\in\Omega$

2. 极限与连续

1. 若 $x_0$ 是 $\Omega$ 的孤立点，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续
2. 在开区域中定义的初等函数处处连续
3. $|f(x)|\le M|g(x)|$，则 $f(x)=O(g(x))\Leftrightarrow g(x)=\Omega(f(x))$
4. $f$ 为连续函数当且仅当开集的原像为开集

3. 导数与微分

1. 不可微时即使偏导函数都存在也不存在梯度
2. 隐函数定理(1)：$\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)$ 可逆 $\Rightarrow \frac{\partial y}{\partial x}=-(\frac{\partial F}{\partial y})^{-1}\frac{\partial F}{\partial x}$
3. 隐函数定理(2)：$\frac{\partial y}{\partial x_i}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_i}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$
4. 逆映射定理：$J(f)|_{x_0}$ 可逆 $\Rightarrow J(f^{-1})=(J(f))^{-1}$

4. Taylor 公式

1. $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(h_1\frac{\partial}{\partial x_1}+h_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\cdots+h_m\frac{\partial}{\partial x_m})^kf(x_0)+o(|x-x_0|^n)$
2. $f(x)=f(x_0)+J_f(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^T H_f(x_0)(x-x_0)+o(||x-x_0||^2)$

5. 空间曲线与曲面

1. 详见线性代数(1)
2. $z=f(x,y)$ 法向量：$(-f^{\prime}x,-f^{\prime}y,1)$
3. $F(x,y,z)=0$ 法向量：$\nabla F$

6. 无条件极值与条件极值

1. 驻点 $+$ $\mathrm{Hesse}$ 矩阵正定或负定 $\Rightarrow$ 无条件极值（反之不成立）
2. 拉乘求得的解一定是条件最值但不一定是极值（需验算 $\mathrm{Hesse}$ 矩阵）
3. 存在函数 $f(x,y)=x^2+y^2(1-x)^3$ 使得函数在 $\mathbb R^2$ 上一阶连续可微且存在唯一极值点，但该极值点不是最值点

7. 例题

1. $(2021)$ 已知函数 $f(x,y)$ 在 $(1,1)$ 处可微，且 $f(1,1)=1,f^{\prime}_x(1,1)=2,f^{\prime}_y(1,1)=3$，设 $g(x)=f(x,f(x,x))$，求 $g^{\prime}(1)$
2. $(2021)$ 已知 $(axy^3-y^2\cos x)\mathrm{d}x+(1+by\sin x+3x^2y^2)\mathrm{d}y$ 为某一函数 $f(x,y)$ 的全微分，求 $a,b$ 的值及 $f(x,y)$
3. $(2023)$ 设函数 $f(x,y)$ 在 $\mathbb R^2$ 上二次连续可微，对 $\forall \theta \in \mathbb R$，令 $g_\theta(t)=f(t\cos\theta,t\sin\theta)$，假设 $\frac{\mathrm{d}g_\theta(t)}{\mathrm{d}t}\vert_{t=0}=0$ 且 $\frac{\mathrm{d}^2g_\theta(t)}{\mathrm{d}t^2}\vert_{t=0}\gt 0,\forall \theta \in \mathbb R$，证明函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值
4. $(2023)$ 根据隐函数定理，证明方程组 $\begin{cases}x^3+y^3=2z^3\\x+y+z=3\end{cases}$ 在点 $(1,1,1)$ 附近确定了两个 $C^{\infty}$ 类隐函数 $y=y(x),z=z(x)$，并证明隐函数 $z=z(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值
5. $(2024)$ 设可微函数 $u(x,y)$ 满足 $u(x,x^2)=1$ 且 $\frac{\partial u}{\partial x}(x,x^2)=x$，求 $\frac{\partial u}{\partial y}(x,x^2)$
6. $(2023)$ 已知椭球面 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{2}=1$ 与平面 $x+2y+2z=0$ 的交线是椭圆，其在 $Oxy$ 平面上的投影曲线 $\Tau$ 也是椭圆，求 $\Tau$ 的四个顶点坐标
7. $(3.15)$ 在方程 $(xy+z)\frac{\partial z}{\partial x}+(1-y^2)\frac{\partial z}{\partial y}=x+yz$ 中作代换 $u=yz-x,v=xz-y,w=xy-z$，其中视 $w$ 是 $u,v$ 的函数，求代换后的方程
8. $(3.26)$ 曲线 $S$ 由方程 $ax+by+cz=G(x^2+y^2+z^2)$ 确定，试证明：曲线 $S$ 上任一点的法线与某定直线相交
9. $(3.27)$ 求两曲面 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$ 的交线在 $xy$ 平面上的投影曲线的切线方程
10. $(4.34)$ 证明：椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 与平面 $Ax+By+Cz=0$ 相交所截的椭圆面积为 $S=\pi abc\sqrt{\frac{A^2+B^2+C^2}{A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2}}$

8. 证明题

1. $(2021)$ 已知函数 $f(x,y)$ 对每个变量 $x,y$ 分别连续，且对每个固定的 $x$，函数 $f(x,y)$ 对 $y$ 单调，证明：$f(x,y)$ 作为二元函数是连续函数
2. $(2023)$ 对在 $\mathbb R^2$ 上连续可微的函数 $g(x,y)$，假设曲线 $\{(x,y)\in \mathbb R^2|g(x,y)=0\}$ 具有无穷大符号 $\infty$ 的形状，问函数 $g(x,y)$ 在 $\mathbb R^2$ 上至少有多少个驻点？并证明你的结论。
3. $(2024)$ 设 $D\subset\mathbb R^2$ 是一个非空有界闭区域，$f$ 是 $D$ 上的连续函数，证明：至多只有一个函数 $u(x,y)$ 在 $D$ 上连续，在 $D$ 的内部 $\mathring D$ 为 $C^2$ 类，且满足 $\begin{cases} u^{\prime\prime}_{xx}+u^{\prime\prime}_{yy}=e^u,(x,y)\in \mathring D\\u=f,(x,y) \in \partial D\end{cases}$
4. $(2024)$ 设 $K$ 是 $\mathbb R^k$ 的非空有界闭子集，函数 $f:\mathbb R^m\times K\to \mathbb R$ 连续，记 $\displaystyle g(\mathrm{x})=\min_{\mathrm{y}\in K}f(\mathrm{x},\mathrm{y})$，证明：$g:\mathbb R^m\to \mathbb R$ 连续
5. $(2.12)$ 设 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ 存在，$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ 连续，证明：$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微
6. $(3.11)$ 设 $u=f(z)$，其中 $z$ 是由方程 $z=x+y\varphi(z)$ 所定义的变量为 $x,y$ 的隐函数，求证：$\displaystyle \frac{\partial^n u}{\partial y^n}=\frac{\partial^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left((\varphi(z))^n\frac{\partial u}{\partial x}\right)$，其中 $\varphi(z)$ 无穷次可微
7. $(4.11)$ $f$ 在 $\mathbb R^2$ 上一阶连续可微，且 $\forall (x,y)\neq (0,0)$，有 $xf^{\prime}_x(x,y)+yf^{\prime}_y(x,y)\gt 0$，证明：原点是 $f$ 的唯一极小值点，且 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
8. $(4.13)$ 已知 $D=\{(x,y):0\lt x\lt 1,0\lt y\lt 1\},f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey$，且 $\forall (x,y)\in \partial D$，有 $f(x,y)\le 0$，证明：$\forall (x,y)\in D$，有 $f(x,y)\le 0$

二、含参积分

1. 含参定积分的性质（参数范围为有限闭区间）

1. 连续、可积：$f(x,y)$ 在 $[a,b]\times [\alpha,\beta]$ 上连续
2. 可微：$f(x,y),f^{\prime}_y(x,y)$ 在 $[a,b]\times [\alpha,\beta]$ 上连续
3. 可微的计算：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f(x,y)\mathrm{d}x=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)} f^{\prime}_y(x,y)\mathrm{d}x+f(\beta(y),y)\cdot\beta^{\prime}(y)-f(\alpha(y),y)\cdot\alpha^{\prime}(y)$

2. 含参广义积分的性质（参数范围为有限闭区间）

1. 连续、可积
   1. $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty)\times [\alpha,\beta]$ 上连续（同定积分）
   2. $\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上一致收敛
2. 可微
   1. $f(x,y),f^{\prime}_y(x,y)$ 在 $[a,+\infty)\times [\alpha,\beta]$ 上连续（同定积分）
   2. $\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上逐点收敛
   3. $\displaystyle \int_a^{+\infty}f^{\prime}_y(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上一致收敛

3. 二元无穷限累次积分的性质（参数范围为无穷限区间）

1. 交换积分次序
   1. $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty)\times [\alpha,+\infty)$ 上连续（同定积分）
   2. $\displaystyle \forall \beta\gt \alpha,\int_a^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$ 在 $y\in[\alpha,\beta]$ 上一致收敛
   3. $\displaystyle \forall b\gt a,\int_\alpha^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}y$ 在 $x\in[a,b]$ 上一致收敛
   4. $\displaystyle \int_\alpha^{+\infty}\mathrm{d}y\int_a^{+\infty}\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}x$ 和 $\displaystyle \int_a^{+\infty}\mathrm{d}x\int_\alpha^{+\infty}\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}y$ 中至少有一个存在

4. 含参广义积分判敛

1. 方法
   1. 定义
   2. $\mathrm{Cauchy}$
   3. $\mathrm{Weierstrass}$
   4. $\mathrm{Dirichlet}$
   5. $\mathrm{Abel}$
2. 技巧
   1. 连续延拓
   2. 取任意闭区间 $[a,b]$ 逼近开区间
3. 注意事项
   1. 技巧2.2只能用于连续不能用于一致收敛
   2. 一致收敛是连续的充分非必要条件

5. 技巧与例题

1. 微分方程的求解：详见微积分A(1)
2. 常用积分公式：$\begin{cases}\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C\\\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C\end{cases}$
3. $(2024)$ 设 $\displaystyle I(y)=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\sin(2xy)\mathrm{d}x$，证明：$\displaystyle I(y)=e^{-y^2}\int_0^y e^{-t^2}\mathrm{d}t$
4. $(5.26)$ 试利用积分 $\displaystyle \varphi(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x^2(1+u^2)}}{1+u^2}\mathrm{d}u$ 计算积分 $\displaystyle I=\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\mathrm{d}x$
5. $(5.4)$ 证明：$\mathrm{Bessel}$ 函数 $\displaystyle I_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos(n\varphi-x\sin\varphi)\mathrm{d}\varphi,n\in \mathbb Z$ 满足 $\mathrm{Bessel}$ 方程 $x^2I^{\prime\prime}_n(x)+xI^{\prime}_n(x)+(x^2-n^2)I_n(x)=0$
6. $(5.17)$ 证明：$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin x^2y}{x}\mathrm{d}x$ 在 $y\in (0,+\infty)$ 不一致收敛，但连续

三、重积分与曲线曲面积分

1. 重积分的性质

1. 可积条件：$D$ 为有界闭集，$f$ 为 $D$ 上的有界函数，$f$ 在 $D$ 上的间断点集为零面积集，$\partial D$ 为零面积集
2. 积分估值：$\displaystyle \left|\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right|\le \iint_D |f(x,y)|\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
3. 对称性：$D$ 关于 $OX$ 轴对称，若 $f(x,y)$ 关于 $y$ 为奇函数，则 $\displaystyle \iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$；若为偶函数，则 $\displaystyle \iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{D_1} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $D_1$ 为 $D$ 关于 $OX$ 轴的上半部分
4. 轮换不变性：$D$ 关于 $x,y$ 轮换对称，则 $\displaystyle \iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_D f(y,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
5. 积分中值定理：$f,g$ 在连通集 $D$ 上连续且$g$ 不变号，则 $\displaystyle \iint_D f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=f(\xi,\eta)\cdot \iint_D g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $(\xi,\eta)$ 为 $D$ 内某点

2. 重积分的计算

1. 极坐标/柱坐标：$\displaystyle \iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_E f(r\cos \theta,r\sin \theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
2. 变量替换：$\displaystyle \iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_E f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$
3. 球坐标：$\displaystyle \iiint_D f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint_E f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin \varphi \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi$

3. 第一型曲线曲面积分的性质

1. 可积条件：$S$ 为光滑曲面，$f(x,y,z)$ 在 $S$ 上连续
2. 积分估值：$\displaystyle \left|\iint_S f(x,y,z)\mathrm{d}S\right|\le \iint_S |f(x,y,z)|\mathrm{d}S$
3. 轮换不变性：$S$ 关于 $x,y$ 轮换对称，则 $\displaystyle \iint_S f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_S f(y,x,z)\mathrm{d}S$
4. 对称性：$S$ 关于 $xy$ 平面对称，$f(x,y,z)$ 关于 $z$ 为奇函数，则 $\displaystyle \iint_S f(x,y,z)\mathrm{d}S=0$

4. 第一型曲线曲面积分的计算

1. 曲面参数形式：$\displaystyle \iint_S f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||r^\prime u\times r^\prime v||\mathrm{d}u\mathrm{d}v$
2. 曲面函数形式：$\displaystyle \iint_S f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z^{\prime}_x(x,y)^2+z^{\prime}_y(x,y)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
3. 曲线参数形式：$\displaystyle \int_L f(x,y,z)\mathrm{d}l=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^\prime(t)^2+y^\prime(t)^2+z^\prime(t)^2}\mathrm{d}t$

5. 第二型曲线曲面积分的性质

1. 可积条件：$S$ 为有向光滑曲面，向量场 $\vec{v}(x,y,z)$ 在 $S$ 上连续
2. $\displaystyle \iint_{S^-} \vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=-\iint_S \vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$

6. 第二型曲线曲面积分的计算

1. 曲面参数形式：$\displaystyle \iint_S \vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\pm\iint_D(PA+QB+RC)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$，$(A,B,C)$ 与正单位法向量同向时取正号
2. 曲面函数形式：$\displaystyle \iint_S \vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\pm\iint_D(-Pf^{\prime}_x(x,y)-Qf^{\prime}_y(x,y)+R)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$(-f^{\prime}_x(x,y),-f^{\prime}_y(x,y),1)$ 与正单位法向量同向时取正号
3. 推论：$\displaystyle \iint_S R\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\pm \iint_D R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，$OZ$ 与正单位法向量同向时取正号
4. 推论：球面法向量 $=r\sin \varphi\cdot (x,y,z)^T$
5. 曲线参数形式：$\displaystyle \int_L \vec{v}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\int_a^b(Px^\prime(t)+Qy^\prime(t)+Rz^\prime(t))\mathrm{d}t$，$a,b$ 对应曲线起点、终点

7. 常用积分公式：详见微积分A(1)

1. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta\mathrm{d}\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}\theta\mathrm{d}\theta=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{\pi}{2}$
2. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n-1}\theta\mathrm{d}\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-1}\theta\mathrm{d}\theta=\frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$
3. $\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$
4. $\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C$
5. $\displaystyle \int \sqrt{x^2\pm a^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$
6. $\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{(a^2+x^2)^2}=\frac{1}{2a^2}\left(\frac{x}{a^2+x^2}+\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right)+C$

8. 三大公式

1. $\mathrm{Green}$ 公式：有界闭区域 $D$，$\partial D$ 逐段光滑，且沿 $\partial D$ 的正向前进时，$D$ 在 $\partial D$ 的左侧，$\vec{v}$ 在 $D$ 上连续可微，则 $\begin{cases}\displaystyle \oint_{\partial D} \vec{v}\cdot \vec{\tau}\mathrm{d}l=\iint_D \nabla \times \vec{v}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\\displaystyle \oint_{\partial D} \vec{v}\cdot \vec{n}\mathrm{d}S=\iint_D \nabla \cdot \vec{v}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{cases}$
2. $\mathrm{Gauss}$ 公式：有界闭区域 $D$，$D$ 的外边界曲面 $\partial D$ 逐片光滑，$\vec{v}$ 在 $D$ 上连续可微，则 $\displaystyle \oiint_{\partial D} \vec{v}\cdot \vec{n}\mathrm{d}S=\iiint_D \nabla \cdot \vec{v}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$
3. $\mathrm{Stokes}$ 公式：有向曲面 $S$ 逐片光滑，$\partial S$ 逐段光滑，站在 $S$ 的正面，沿 $\partial S$ 的正向前进时，$S$ 在 $\partial S$ 的左侧，$\vec{v}$ 在 $S$ 上连续可微，则 $\displaystyle \oint_{\partial S} \vec{v}\cdot \vec{\tau} \mathrm{d}l=\iint_S (\nabla \times \vec{v})\cdot \vec{n}\mathrm{d}S$
4. 常见应用方式
   1. 将围绕奇点的复杂闭曲线转化为简单闭曲线
   2. 将无旋场中的复杂曲线转化为简单曲线
   3. 与常规方法联用证明等式

9. 场论

1. 定义
   1. 保守场：积分与路径无关
   2. 单连通：任意简单闭曲线的内部都包含在区域中（可连续收缩变形为一点）
   3. 面连通：任意封闭曲面的内部都包含在区域中
   4. 线连通：任一简单闭曲线均有区域中的曲面以其为边界
   5. 线连通与面连通既不充分也不必要
2. 连续的保守场 $\Leftrightarrow$ 有势场
3. 连续可微的保守场 $\Rightarrow$ 无旋场
4. 单连通/线连通区域上的连续可微保守场 $\Leftrightarrow$ 无旋场
5. 场论视角下的恰当方程：详见微积分A(1)

10. 证明题

1. $(§3.2)$ 设 $f(x)\in C[0,1],f\gt 0,f$ 递减，证明：$\displaystyle \frac{\int_0^1 xf^2(x)\mathrm{d}x}{\int_0^1 xf(x)\mathrm{d}x}\le \frac{\int_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x}$
2. $(§3.2)$ 设 $D=\{(x,y)|0\le x,y\le 1\},z=f(x,y)\in C^2(D)$，若 $\begin{cases}\left|\dfrac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}\right|\le 4,\forall (x,y)\in D\\f(x,y)=f^{\prime}_x(x,y)=0,\forall (x,y)\in \partial D\end{cases}$，证明：$\displaystyle \left|\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right|\le 1$
3. $(§3.3)$ 证明：若 $f$ 连续，则 $\displaystyle \iint_{|x|,|y|\le \frac{a}{2}} f(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-a}^a f(t)(a-|t|)\mathrm{d}t$
4. $(6.27)$ 证明：$\displaystyle \iint_{[0,1]^2} (xy)^{xy} \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^1 t^t dt$
5. $(6.30)$ 设 $f\in C[0,\pi],0\lt f(x,y)\le M$，证明：$\displaystyle 0\lt I=\left(\int_0^\pi f(x)\mathrm{d}x\right)^2-\left(\int_0^\pi f(x)\cos x\mathrm{d}x\right)^2-\left(\int_0^\pi f(x)\sin x\mathrm{d}x\right)^2\le M^2(\pi^2-4)$
6. $(6.32)$ 设 $p(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负可积，$f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上递增，证明：$\displaystyle \int_a^b p(x)f(x)\mathrm{d}x\cdot \int_a^b p(x)g(x)\mathrm{d}x\le \int_a^b p(x)\mathrm{d}x\cdot \int_a^b p(x)f(x)g(x)\mathrm{d}x$
7. $(6.35)$ 设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\le 1\}$，函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有二阶连续偏导数，在 $\partial D$ 上 $f(x,y)=0$，证明：$\displaystyle \iint_D f(x,y)\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\le 0$
8. $(6.36)$ 设 $D=\{(x,y)|0\le x,y\le 1\},f(x,y)\in C^4(D),\left|\dfrac{\partial^4 f(x,y)}{\partial x^2\partial y^2}\right|\le M,\forall (x,y)\in D,f(x,y)=0,\forall (x,y)\in \partial D$，证明：
   1. 令 $g(x,y)=xy(1-x)(1-y)$，则 $\displaystyle \iint_D \frac{\partial^4 f(x,y)}{\partial x^2\partial y^2}g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_D \frac{\partial^4 g(x,y)}{\partial x^2\partial y^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
   2. $\displaystyle \left|\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right|\le \frac{M}{144}$
9. $(§4.1)$ 设 $f(x)\in C[0,1]$，证明：
   1. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\theta\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi f(\sin\varphi\sin\theta)\mathrm{d}\varphi=\frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\varphi f(\cos\varphi)\mathrm{d}\varphi$
   2. 计算 $\displaystyle I=\iint_{0\le \varphi,\theta\le \frac{\pi}{2}} \sin\varphi e^{\sin\varphi\sin\theta}\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta$
10. $(§4.1)(\mathrm{Poisson})$ 设 $S=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1\}$，证明：$\displaystyle \oiint_S f(ax+by+cz)\mathrm{d}S=2\pi\int_{-1}^1 f(\sqrt{a^2+b^2+c^2}t)\mathrm{d}t$
11. $(§4.4)$ 设 $\Omega$ 为平面区域，$u(x,y)\in C^2(\Omega)$，证明：$u^{\prime\prime}_{xx}+u^{\prime\prime}_{yy}=0$ 的充要条件是对 $\Omega$ 内的任意区域 $D$，有 $\displaystyle \oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\mathrm{d}l=0$
12. $(§4.4)$ 设 $f(x,y)\in C^2(\mathbb R),f^{\prime\prime}_{xx}+f^{\prime\prime}_{yy}=e^{-(x^2+y^2)}$，证明：
    1. $\displaystyle \oint_{L_r} \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}\mathrm{d}l=\pi (1-e^{-r^2}),L_r:x^2+y^2=r^2$，逆时针
    2. $\displaystyle \iint_{x^2+y^2\le 1} (xf^{\prime}_x(x,y)+yf^{\prime}_y(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{\pi}{2e}$
13. $(8.22)$ 设 $P(x,y),Q(x,y)$ 是从 $A$ 到 $B$ 的光滑曲线 $AB$ 上的连续函数，$AB$ 的长度为 $l$，证明：
    1. $\displaystyle \left|\int_{AB} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\right|\le lM$，其中 $\displaystyle M=\max_{(x,y)\in AB}\sqrt{P^2(x,y)+Q^2(x,y)}$
    2. 设 $L:x^2+y^2=R^2$，逆时针方向，$\displaystyle I_R=\int_L \frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{(x^2+xy+y^2)^2}$，则 $\displaystyle \lim_{R\to +\infty} I_R=0$
14. $(9.8)$ 设 $P(x,y),Q(x,y)$ 在全平面上有连续偏导数，而且对任意点 $(x_0,y_0)$ 为中心，以任意正数 $r$ 为半径的上半圆 $C:x=x_0+r\cos \theta,y=y_0+r\sin \theta(0\le \theta\le \pi)$，都有 $\displaystyle \int_C P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0$，证明：$P(x,y)=0,\dfrac{\partial Q}{\partial y}=0$
15. $(9.16)$ 设 $\vec{v}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))^T\in C^1(\mathbb{R}^3)$，且 $\begin{cases}\nabla \cdot \vec{v}(x,y,z)=0,\forall (x,y,z)\in \Omega\\\vec{v}(x,y,z)=(1,1,1)^T,\forall (x,y,z)\in \partial \Omega\end{cases}$，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb R^3$ 中以原点为球心的单位球，证明：$\displaystyle \iiint_\Omega (P+Q+R)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=4\pi$

四、级数

1. 常数项级数

1. 常数项级数的性质
   1. $\mathrm{Cauchy}$ 收敛原理：$\displaystyle \forall \varepsilon\gt 0,\exists N\in \mathbb N,\forall m,n\ge N,\left|\sum_{k=m}^n a_k\right|\lt \varepsilon$
   2. 收敛的级数必有 $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} a_n=0$
2. 非负项级数
   1. 收敛充要条件：部分和数列有上界
   2. $\mathrm{Cauchy}$ 积分判别法：设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调下降且非负，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与 $\displaystyle \int_1^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 同敛散
   3. 比较判别法
   4. $\mathrm{Cauchy}$ 根式判别法：$q\lt 1$ 收敛，$q\gt 1$ 发散
   5. 比值判别法
   6. $\mathrm{D’Alembert}$ 判别法：$q\lt 1$ 收敛，$q\gt 1$ 发散
   7. $\mathrm{Raabe}$ 判别法：$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\to r$，则 $r\gt 1$ 收敛，$r\lt 1$ 发散
   8. $\mathrm{Gauss}$ 判别法：$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda+\frac{\mu}{n}+\frac{\nu}{n\ln n}+o\left(\frac{1}{n\ln n}\right),\nu\gt 1$ 收敛，$\nu\lt 1$ 发散
3. 任意项级数
   1. 比较判别法对任意项级数不成立，如级数 $\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$ 收敛，但级数 $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$ 发散
   2. 交错项级数的 $\mathrm{Leibnitz}$ 判别法：单调递减趋于零
   3. $\mathrm{Dirichlet}$ 判别法：$a_n$ 单调递减趋于零，$b_n$ 部分和有界
   4. $\mathrm{Abel}$ 判别法：$a_n$ 单调有界，$b_n$ 部分和收敛
   5. $\displaystyle \sum_{k=1}^n \cos k=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})-\sin\frac{1}{2}}{2\sin\frac{1}{2}}$，从而级数 $\frac{\cos n}{n}$ 收敛
   6. 若使用结合律后每个括号内同正负，则原级数收敛
   7. 绝对收敛的数列有交换律，条件收敛没有交换律
   8. $\mathrm{Cauchy}$ 乘积：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_1b_n+\cdots+a_nb_1)$ 为级数 $a_n,b_n$ 的 $\mathrm{Cauchy}$ 乘积，若级数 $a_n,b_n$ 收敛，则其 $\mathrm{Cauchy}$ 乘积收敛到其乘积
4. 例题
   1. 级数 $a_n^2,b_n^2$ 收敛，证明：级数 $(a_n+b_n)^2$ 收敛，级数 $\frac{a_n}{n}$ 绝对收敛
   2. $(10.13)$ 设 $a_n\gt 0$，证明：无论级数 $a_n$ 是否收敛，级数 $\frac{a_n}{S_n^p}$ 对任意 $p\gt 1$ 收敛
   3. $(10.21)$ 已知级数 $u_n$ 收敛，则以下级数中收敛的有：级数 $(-1)^n\frac{u_n}{n}$，级数 $u_n^2$，级数 $u_n-u_{2n}$，级数 $u_n+u_{n+1}$

2. 函数项级数

1. 一致收敛的判定
   1. $\mathrm{Cauchy}$ 准则：级数 $u_n(x)$ 一致收敛当且仅当 $\displaystyle \forall \varepsilon\gt 0,\exists N\in \mathbb N,\forall m,n\ge N,\left|\left|\sum_{k=m}^n a_k(x)\right|\right|_{\infty}\lt \varepsilon$
   2. $\mathrm{Weierstrass}$ 判别法：$||u_n(x)||_\infty\le M_n$
   3. $\mathrm{Dirichlet}$ 判别法：$\forall x_0,u_n(x_0)$ 单调且 $u_n(x)$ 一致趋于零，$v_n(x)$ 部分和一致有界
   4. $\mathrm{Abel}$ 判别法：$\forall x_0,u_n(x_0)$ 单调且 $u_n(x)$ 一致有界，级数 $v_n(x)$ 一致收敛
2. 一致收敛的性质
   1. $u_n(x)$ 连续，级数 $u_n(x)$ 一致收敛，则可逐项取极限
   2. $u_n(x)$ 连续，级数 $u_n(x)$ 一致收敛，则可逐项积分
   3. $u_n(x)$ 导函数连续，级数 $u_n^\prime(x)$ 一致收敛，且存在 $x_0$ 使得级数 $u_n(x_0)$ 收敛，则级数 $u_n(x)$ 一致收敛，且可逐项求导
3. 幂级数
   1. 幂级数在收敛半径内点点绝对收敛，收敛半径外点点发散，在收敛域上内闭一致绝对收敛
   2. 若在 $x_0$ 处条件收敛，则收敛半径等于 $x_0$
   3. 若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=q$，则 $\rho=\frac{1}{q}$
   4. 若 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}=q$，则 $\rho=\frac{1}{q}$
   5. 逐项积分、逐项求导不改变收敛半径，但可能改变收敛域
   6. 若导函数列在 $x_0$ 的邻域内一致有界，则 $f$ 在 $x_0$ 的邻域内可展开成 $\mathrm{Taylor}$ 级数
4. $\mathrm{Fourier}$ 级数
   1. $\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$，其中 $\displaystyle a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x,b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x$
   2. 分段可微的函数其 $\mathrm{Fourier}$ 级数收敛到左右极限的平均值
   3. 分段单调有界的函数其 $\mathrm{Fourier}$ 级数收敛到左右极限的平均值
   4. $\mathrm{Parseval}$ 等式：$\displaystyle \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right)=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f^2(x)\mathrm{d}x$
   5. 绝对可积的函数其 $\mathrm{Fourier}$ 级数逐项可积，且级数 $\frac{b_n}{n}$ 收敛
   6. 导函数绝对可积的函数其 $\mathrm{Fourier}$ 级数逐项可微
5. 例题
   1. $(11.17)$ 求 $\frac{x\sin\alpha}{1-2x\cos\alpha+x^2}$ 的幂级数展开式
   2. $(11.24)$ 设 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=a,f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_nx^n$，证明：
      1. $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}(1-x)f(x)=a$
      2. $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}(1-x)\int_0^x \frac{f(t)}{1-t}\mathrm{d}t=a$
   3. $(11.33)$ 验证函数 $\displaystyle y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3n}}{(3n)!}$ 满足微分方程 $y^{\prime\prime}+y^\prime+y=e^x$，并求其和函数
   4. $(11.36)$ 设幂级数 $a_nx^n$ 的收敛半径大于零，$a_1\neq 0$，且在原点的一个邻域内 $\displaystyle \left|\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n\right|\ge|a_1||x|-2x^2$，证明：$|a_2|\le 2$
   5. $(12.27)$ 证明：存在收敛的三角级数，其不是任何函数的 $\mathrm{Fourier}$ 级数
   6. 证明：级数 $\frac{\sin nx}{\ln n}$，级数 $\frac{\sin nx}{\ln\ln n}$ 不是任何绝对可积函数的 $\mathrm{Fourier}$ 级数