线性代数(1)

大一上学期线性代数(1)的复习笔记，目前已完结。

一、基本定义

映射：详见离散数学(1)
数域：非空且对四则运算封闭，$\mathbb Q\subset \mathbb F\subset \mathbb R$

二、矩阵与消元

证明
1. $AB=A*B$ 的列 $=A$ 的行 $*B=\sum A$ 的列 $*B$ 的行
2. 上/下三角矩阵的乘积仍然是上/下三角矩阵
3. 上/下三角矩阵的逆仍然是上/下三角矩阵
4. 可逆矩阵存在 $\mathrm{LU}$ 分解 $\Leftrightarrow$ 各阶顺序主子式非零
5. $\mathrm{LDU}$ 分解唯一 $\Rightarrow$ 对称矩阵 $S=LDL^T\Rightarrow$ 正定矩阵 $S=CC^T$
计算
1. 线性方程组的唯一解
2. 矩阵的逆
3. $\mathrm{LU/LDU/PLU/LUP/Cholesky}$ 分解
分块矩阵
1. 乘法条件：$A=(A_{ij})_{m\times n},B=(B_{jk})_{n\times p},\forall 1\le j\le n, A_{ij}$ 的行指标 $=B_{jk}$ 的列指标
2. $A=\mathrm{diag}\{A_1,\dots ,A_n\}$ 可逆 $\leftrightarrow$ $\forall 1\le i\le n, A_i$ 可逆，且 $A^{-1}=\mathrm{diag}\{A_1^{-1},\dots ,A_n^{-1}\}$
3. 上三角分块矩阵可逆 $\leftrightarrow$ 对角线矩阵均可逆，且逆矩阵的对角线为对角线矩阵的逆
4. $M=\begin{bmatrix} A&B \\ C&D \end{bmatrix}$ 可逆 $\Rightarrow$ $A$ 可逆 $\Leftrightarrow D-CA^{-1}B$ 可逆 $\Leftrightarrow D$ 可逆 $\Leftrightarrow A-BD^{-1}C$ 可逆
5. $A\in M_n (\mathbb F)$ 可逆，$u, v\in \mathbb F^n$，则 $A+uv^T$ 可逆 $\leftrightarrow$ $1+v^TA^{-1} u\neq 0$ ，且当 $A+uv^T$ 可逆时，$(A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+v^TA^{-1}u}$
6. $I+uv^T$ 可逆 $\leftrightarrow$ $1+v^Tu\neq 0$，且当 $I+uv^T$ 可逆时，$(1+uv^T)^{-1}=I-\frac{uv^T}{1+v^Tu}$
例题
1. $(2023)$ 证明：若 $A\in \mathbb M_n (\mathbb R)$ 正定，则 $\forall x\in \mathbb R^n, 0\le x^T (A+xx^T)^{-1}x\lt 1$

三、线性空间

线性空间
1. 定义：$+$ 封闭/零元/负元/交换/结合；$\times$ 封闭/结合/一元/分配
2. 子空间：$+,\times$ 封闭
3. 对偶空间：详见线性代数(2)
证明
1. 矩阵秩的性质
  1. $r=\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}=r (A)+r (B)$
  2. $r=\begin{bmatrix}A&0\\C&B\end{bmatrix}\ge r (A)+r (B)$
  3. $r (A)+r (B)-n\le r (AB)\le \min\{r (A), r (B)\}$，其中 $A\in M_{m, n}, B\in M_{n, p}$
  4. $\max\{r (A), r (B)\}\le r (A|B)\le r (A)+r (B)$
  5. $r (A+B)\le r (A)+r (B)$
2. 矩阵迹的性质
  1. $\mathrm{tr} (AB)=\mathrm{tr} (BA), \mathrm{tr} (ABC)=\mathrm{tr} (BCA)=\mathrm{tr} (CAB)$
  2. $AB-BA\neq I_n$
  3. $\displaystyle A=\begin{bmatrix} a_1&a_2 \\ a_3&a_4 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} b_1&b_2 \\ b_3&b_4 \end{bmatrix}, \mathrm{tr} (A^TB)=\sum_{i=1}^4 a_ib_i$
  4. $\displaystyle \mathrm{tr} (A^TA)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}^2$
  5. $\displaystyle x^TAx=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j=\mathrm{tr} (Axx^T)$，反对称阵 $x^TAx=0$
计算
1. 极大线性无关组
2. $C (A), N (A), C (A^T), N (A^T)$
3. 线性方程组的所有解
4. 满秩分解：$Q_1 AQ_2=\begin{bmatrix} I_r&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I_r \\ 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} I_r&0 \end{bmatrix}\Rightarrow A=Q_1^{-1}\begin{bmatrix} I_r \\ 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} I_r&0 \end{bmatrix} Q_2^{-1}$
例题
1. 证明：若 $A=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}I&G\\0&0\end{bmatrix}$ 同型且具有相同的四个子空间，则 $F=G$
2. 证明：若 $A, B$ 为同型矩阵，且 $N (A)=N (B)$，$\mathrm{rref} (A)=\mathrm{rref} (B)$
3. 证明：对 $n$ 阶方阵 $A$，
  1. $A^2=A\Leftrightarrow r (A)+r (I_n-A)=n$
  2. $A^2=I_n\Leftrightarrow r (I_n+A)+r (I_n-A)=n$
4. 证明：对 $\mathbb R^n$ 中线性无关的向量组 $x_0, x_1,\dots ,x_t$，存在满足如下条件的非齐次线性方程组：$x_0, x_1,\dots ,x_t$ 都是该方程组的解且任意解都能被 $x_0, x_1,\dots ,x_t$ 线性表示
5. 证明：若 $S:\alpha_1,\dots ,\alpha_r$ 线性无关，且可被 $T:\beta_1,\dots ,\beta_t$ 线性表示，可以选择 $T$ 中的 $r$ 个向量换成 $S$，得到的新的向量组与 $T$ 线性等价

四、内积空间

内积
1. 定义：非负性、线性、对称性
2. 性质：勾股定理、$\mathrm{Cauchy-Schwarz}$ 不等式
证明
1. $N (A)\oplus C (A^T)=\mathbb R^n, N (A^T)\oplus C (A)=\mathbb R^m$
2. $\mathrm{dim} (U+V)+\mathrm{dim} (U\cap V)=\mathrm{dim}U+\mathrm{dim}V$
3. $A\in M_{n, r}(\mathbb R)$，则 $A^TA$ 可逆 $\Leftrightarrow r (A)=r$，即 $N(A^TA)=N(A)$
4. $P$ 是正交投影矩阵 $\Leftrightarrow P^2=P, P^T=P\Leftrightarrow P=\mathbb P_{C (P)}$
5. $A: C (A^T)\to C (A)$ 是双射；$A^T: C (A)\to C (A^T)$ 是双射
6. $Q$ 是正交矩阵 $\Leftrightarrow Q^TQ=I_n\Leftrightarrow Q^T$ 是正交矩阵，$Q_1, Q_2$ 正交 $\Rightarrow Q_1 Q_2$ 正交
7. $Q$ 是正交矩阵 $\Leftrightarrow Qx\cdot Qy=x\cdot y\Leftrightarrow |Qx|=|x|$（保距、保角度）
8. 直线投影：$\mathbb P=\frac{uu^T}{|u|^2}$，关于法线对称变换：$I-2\mathbb P$，关于直线对称变换：$2\mathbb P-I$
9. $QR$ 分解的唯一性 $\Rightarrow A$ 是正交阵且是对角线为正的上三角阵则 $A=I_n$
计算
1. $U+V, U\cap V$
2. 正交投影矩阵
3. 最小二乘法
4. $N (A), C (A^T)$ 分解
5. $\mathrm{Gram-Schmidt}$ 正交化
6. $QR$ 分解
投影和 $QR$ 的推广
1. 投影矩阵：$P^2=P$
2. $A\in M_{m, n}(\mathbb R), r (M)\lt n\le m$ 的 $QR$ 分解
  1. $A=BC, B$ 可逆，$C$ 为行简化阶梯矩阵，记 $C=\begin{bmatrix} C_1 \\ 0 \end{bmatrix}, C_1$ 对角非负上三角
  2. 对 $B$ 使用 $QR$ 分解，$B=QR_B=\begin{bmatrix} Q_{1}&Q_{2} \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} R_{11}&R_{12} \\ 0&R_{22} \end{bmatrix}, R_{11}, R_{22}$ 上三角
  3. $A=\begin{bmatrix} Q_{1}&Q_{2} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} R_{11}C_1 \\ 0 \end{bmatrix}=Q_1\cdot R_{11}C_1$，$Q_1$ 列正交，$R_{11}C_1$ 对角非负上三角
  4. 推广的 $QR$ 分解不唯一
例题
1. 证明：若 $A, B$ 是正交投影矩阵，则 $A+B$ 是正交投影矩阵 $\Leftrightarrow C (A), C (B)$ 正交
2. 证明：$n$ 阶方阵 $P$ 是关于 $A$ 的正交投影矩阵 $\Leftrightarrow \forall x\in \mathbb R^n, Px\in C (A), x-Px\in N (A^T)$
3. 证明：若可逆矩阵 $A$ 对应的线性变换保持向量之间的角度不变，则
  1. 对 $A$ 进行 $QR$ 分解，则 $R$ 也保持向量之间的角度不变
  2. $R$ 为对角矩阵
  3. $R=kI_n$，则 $A$ 为正交矩阵的常数倍
4. 证明：反对称矩阵的秩是偶数
5. 证明：若 $A\in M_n (\mathbb R)$ 可逆且反对称，$b\in \mathbb R^n$，则
  1. $r (A+bb^T)=n$
  2. $r \begin{pmatrix} A&b \\ b^T&0 \end{pmatrix}=n$
6. $(2024)$ 证明：若 $\mathbb R^n$ 中的向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 满足两两之间的标准内积 $a_i^Ta_j<0$，则 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 中任意三个向量线性无关

五、行列式

计算
1. 高斯消元
2. 分块矩阵
  1. $\mathrm{det}\begin{pmatrix} A&B \\ C&D \end{pmatrix}=\mathrm{det}A*\mathrm{det} (D-CA^{-1}B)$
  2. $\mathrm{det}\begin{pmatrix} A&B \\ B&A \end{pmatrix}=\mathrm{det}(A+B)*\mathrm{det} (A-B)$
  3. $AB=BA\Rightarrow \mathrm{det}\begin{pmatrix} A&B \\ -B&A \end{pmatrix}=\mathrm{det}(A^2+B^2)$
3. $\mathrm{Leibnitz}$ 展开
4. $\mathrm{Laplace}$ 展开
应用
1. $\mathrm{Vandemonde}$ 行列式：若 $v_{ij}=a_j^{i-1}$，则 $\displaystyle \mathrm{det}V=\prod_{1\le i\lt j\le n}(a_i-a_j)$
2. $\mathrm{Cauchy}$ 行列式：若 $c_{ij}=\frac{1}{x_i+y_j}$，则 $\displaystyle \mathrm{det}C=\frac{\prod_{1\le i\lt j\le n}(x_i-x_j)(y_i-y_j)}{\prod_{1\le i, j\lt n}(x_i+y_j)}$
3. $\mathrm{Cramer}$ 法则：$\displaystyle x_i=\frac{\mathrm{det} (A_1,\dots, A_{i-1}, b, A_{i+1},\dots ,A_n)}{\mathrm{det}A}$
4. 伴随矩阵：$\displaystyle A^{-1}=\frac{A^*}{\mathrm{det}A}, A^*=((A_{ij})_{n\times n})^T$
5. 摄动法
  1. $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*,(A^T)^*=(A^*)^T$
  2. $A$ 不可逆时，$EA=U, U+\epsilon I_n$ 可逆，则 $A_\epsilon=E^{-1}(U+\epsilon I_n)=A+\epsilon E^{-1}$ 可逆
6. $\mathrm{det} (I_n+AB)=\mathrm{det} (I_m+BA)$
7. $\mathrm{Binet-Cauchy}$ 定理：$A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times m},n\ge m$，则 $\det(AB)=\sum A_iB_i$
例题
1. 证明：若 $A$ 对角占优且对角线元素为正，则 $\mathrm{det}A\gt 0$
2. 证明：若 $A$ 不可逆，则其伴随矩阵的秩为 $0$ 或 $1$
3. 证明：若 $A=[t_1,\dots ,t_n]$，则 $|\mathrm{det}T|\le||t_1||\dots ||t_n||$
4. 证明：若 $A$ 可逆且元素为整数，则 $A^{-1}$ 元素为整数 $\Leftrightarrow |\mathrm{det}A|=1$
5. 利用摄动法证明：
  1. 给定 $A, B\in M_n (\mathbb R)$，则 $\forall \epsilon_0\gt 0,\exists C, s.t. \forall \epsilon\in (0,\epsilon_0),|\mathrm{det} (A+\epsilon B)-\mathrm{det}A|\le C\epsilon$
  2. 记 $A$ 的伴随矩阵为 $A^*$，则 $\displaystyle \lim_{\epsilon\to 0}||(A_\epsilon)^*-A^*||_2=0$

六、特征值

特征值
1. $\displaystyle P_A (\lambda)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}S_{n-k}\lambda^{k}$，其中 $S_k$ 是 $A$ 的全体 $k$ 阶主子式的和
2. $\displaystyle S_{k}=\sum_{1\le i_1\lt \dots \lt i_k\le n}\lambda_{i_1}\dots \lambda_{i_k}, k=1\Rightarrow \sum_{i=1}^n\lambda_i=\mathrm{tr}A, k=n\Rightarrow \prod_{i=1}^n\lambda_i=\mathrm{det}A$
3. 圆盘定理：$\displaystyle \exists i,|\lambda-a_{ii}|\le\sum_{j\neq i}|a_{ij}|$（对角占优）
4. 同时对角化 $\Leftrightarrow$ $AB=BA$
实对称矩阵
1. 实对称矩阵的特征值为实数，实反对称矩阵的特征值为纯虚数或零
2. $\displaystyle \lambda_1=\max_{x\neq 0}\frac{x^TAx}{x^Tx},\lambda_i=\max_{x\notin span\{q_1,\dots ,q_{i-1}\}}\frac{x^TAx}{x^Tx}=\min_{x\notin\{q_{i+1},\dots ,q_n\}}\frac{x^TAx}{x^Tx},\lambda_n=\min_{x\neq 0}\frac{x^TAx}{x^Tx}$
3. $A$ 正定 $\Leftrightarrow$ $P^TAP$ 正定 $\Leftrightarrow A$ 的特征值为正数 $\Leftrightarrow A=C^TC\Leftrightarrow A=LDL^T$，$D$ 对角为正 $\Leftrightarrow A$ 的各阶顺序主子式为正 $\Leftrightarrow A$ 的所有各阶主子式为正
4. $A$ 半正定 $\Leftrightarrow A$ 的特征值非负 $\Leftrightarrow A=C^TC\Leftrightarrow A=LDL^T$，$D$ 对角非负 $\Leftrightarrow A$ 的各阶主子式非负（注意：各阶顺序主子式非负 $\neq$ 半正定）
5. $A$ 负定 $\Leftrightarrow A$ 的各阶顺序主子式负正相间
6. 实对称矩阵 $A$ 的合同标准形唯一存在 $\begin{bmatrix} I_P& & \\ &-I_{r-p}& \\ & &0 \end{bmatrix}$，对应正、负、零特征值
7. 步骤：对 $A$ 作行变换，再对 $\begin{bmatrix} A \\ I \end{bmatrix}$ 作相同的初等列变换，则 $I$ 转变为 $P$
相似对角化的推广：详见线性代数(2)
1. $\mathrm{Schur}$ 分解（上三角化）
2. $\mathrm{Hamilton-Cayley}$ 定理
3. 广义特征空间
4. $\mathrm{Jordan}$ 标准形
例题
1. 若 $A=X\Lambda X^{-1}$，求 $\begin{bmatrix} O&A \\ A&O \end{bmatrix}$ 的相似对角化
2. $(2023)$ 已知三阶方阵 $A$ 满足 $A^2-2 A-3 I=O$，求 $\mathrm{det} (A+2 I)$ 的所有可能取值
3. 证明：若 $A\in M_n (\mathbb R)$ 反对称，则 $I-A^2$ 正定
4. 证明：若复矩阵 $A, B$ 可交换，则 $A, B$ 至少有一个公共的特征向量
5. 证明：若 $A^2=A$，则 $A$ 可对角化
6. 证明：对 $m$ 阶方阵 $A_1$，$n$ 阶矩阵 $A_2$ 和 $m\times n$ 阶矩阵 $B$，若 $A_1, A_2$ 没有相同的特征值，则关于 $m\times n$ 矩阵 $X$ 的矩阵方程 $A_1 X-XA_2=B$ 有唯一解
7. 证明：若 $AB=BA$，且 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则存在不超过 $n-1$ 次的多项式 $f (x), s.t. B=f (A)$
8. $(2023)$ 证明：若 $A\in M_n (\mathbb R)$ 对称，则 $A$ 至少有 $k$ 个计重数的特征值 $\Leftrightarrow$ 存在 $k$ 维子空间 $V$ 使得对于任意非零向量 $v\in V, v^TAv\gt 0$
9. 证明：任意迹为 $0$ 的方阵相似于一个对角元素全为 $0$ 的方阵
10. 证明：若 $A_1,\dots ,A_m$ 是 $m$ 个两两可交换的实对称阵，则它们可同时正交对角化
11. 证明：若 $A, B$ 满足以下条件，则存在可逆阵 $T$，$T^TAT, T^TBT$ 为对角阵
  1. $A$ 正定，$B$ 实对称
  2. $A, B$ 半正定
12. 证明：给定 $n$ 阶正定矩阵 $A$，则
  1. 对任意 $y$，$\mathrm{det}\begin{pmatrix} A&y \\ y^T&0 \end{pmatrix}\le 0$
  2. $\mathrm{det}A\le a_{nn}\mathrm{det} (A_{n-1})$，其中 $A_{n-1}$ 是 $A$ 的顺序主子阵
  3. $\mathrm{det} (A)\le a_{11}a_{22}\dots a_{nn}$
  4. 对任意实可逆阵 $T$，$\displaystyle (\mathrm{det}T)^2\le \prod_{i=1}^n (t_{1 i}^2+t_{2 i}^2+\dots +t_{ni}^2)$

七、奇异值分解

奇异值分解
1. $A^TA$ 与 $AA^T$ 有相同的特征值
2. $A: V_\lambda (A^TA)\to V_\lambda (AA^T)$ 是双射
3. $A^T: V_\lambda (AA^T)\to V_\lambda (A^TA)$ 是双射
4. $\xi_1,\dots ,\xi_s$ 是 $V_\lambda (A^TA)$ 的标准正交基 $\Rightarrow \frac{A\xi_1}{\sqrt{\lambda}},\dots ,\frac{A\xi_s}{\sqrt{\lambda}}$ 是 $V_\lambda (AA^T)$ 的标准正交基
5. $\displaystyle A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^TA=V\Lambda V^T, AA^T=U\Lambda U^T, A=\sum_{i=1}^r\sigma_iu_iv_i^T$
6. $(u_1,\dots ,u_r) (v_1,\dots ,v_r),(u_{r+1},\dots ,u_m), (v_{r+1},\dots, v_n)$ 分别是 $C (A), C(A^T), N(A^T), N(A)$ 的标准正交基
7. 步骤：$A^TA$ 的对角化得出 $V,\Sigma\Rightarrow$ 得出 $(u_1,\dots ,u_r)\Rightarrow$ $N (A^T)$ 的标准正交基
应用
1. 极分解：$A=U\Sigma V^T=UV^T*V\Sigma V^T=QS$，$Q$ 为正交阵，$S$ 为半正定矩阵
2. 伪逆
  1. 定义：$AA^+A=A, A^+AA^+=A^+, (AA^+)^T=AA^+, (A^+A)^T=A^+A$
  2. 性质：唯一性；$A^+=A^{-1}$；$(A^+)^T=(A^T)^+$
  3. $A\in M_{m, n}, r (A)=n\Rightarrow A^+=(A^TA)^{-1}A^T; r (A)=m\Rightarrow A^+=A^T (AA^T)^{-1}$
  4. $\mathbb P_{C (A)}=AA^+,\mathbb P_{C (A^T)}=A^+A$
  5. $T: C (A^T)\to C (A), T (x)=Ax, T^{-1}=A^+$
  6. 求解：$A=U\Sigma V^T\Rightarrow A^+=V\Sigma^+U^T$
谱范数
1. 定义：$\displaystyle ||A||=\sup_{x\in \mathbb R^n}\frac{|Ax|}{|x|}=\sigma_1$，其中 $\sigma_1$ 是 $A$ 最大的特征值
2. 性质：$||A+B||\le ||A||+||B||,||AB||\le ||A||||B||,||kA||=|k|||A||,||A||=0\Leftrightarrow A=0$
3. $U, V$ 正交 $\Rightarrow ||UAV^T||=||A||$
4. $|\lambda|\gt||A||\Rightarrow \lambda I-A$ 可逆 $\Leftrightarrow A$ 的特征值在 $[-||A||,||A||]$ 里
5. 低秩逼近：$\displaystyle \min_{r (B)=k}||A-B||=\sigma_{k+1}, B=\sum_{i=1}^k\sigma_iu_iv_i^T$
6. 正交逼近：$\displaystyle A=U\Sigma V^T\Rightarrow \min_{B正交}||A-B||=||A-UV^T||$
$\mathrm{Frobenius}$ 范数
1. 定义：$\displaystyle||A||_F=\sqrt{\mathrm{tr} (A^TA)}=\sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^r\sigma_i^2}$
2. 性质：$||A||_F=0\Leftrightarrow A=0,||kA||_F=|k|||A||_F,||A+B||_F\le ||A||_F+||B||_F$
3. $U, V$ 正交 $\Rightarrow ||UAV^T||_F=||A||_F$
4. $||AB||_F\le ||A||_F||B||,||AB||_F\le ||A||||B||_F$
5. 低秩逼近：$\displaystyle \min_{r (B)\le k}||A-B||_F^2=\sum_{i=k+1}^r\sigma_i^2, B=\sum_{i=1}^k\sigma_iu_iv_i^T$
6. $\displaystyle A=\sum_{i=1}^r\sigma_iu_iv_i^T$，则 $\displaystyle \max_{r (Q)\le k, Q 列正交}\mathrm{tr} (Q^TAA^TQ)=\sum_{i=1}^k\sigma_i^2, Q=[u_1,\dots ,u_k]$
例题
1. 若 $A=U\Sigma V^T$，求 $\begin{bmatrix} O&A^T \ A&O \end{bmatrix}$ 的相似对角化
2. 证明：若对称阵 $A\in M_n (\mathbb R)$ 有特征值 $\lambda_1\ge \dots \ge \lambda_n$，对应特征向量 $u_1,\dots ,u_n$，则 $\displaystyle \forall m\lt n,\max_{Q\in M_{m, n}(\mathbb R), Q列正交}\mathrm{tr} (Q^TAQ)=\sum_{i=1}^m\lambda_i$，且 $Q=[u_1,\dots ,u_m]$ 时最大

八、线性变换

证明
1. 同构：线性双射，且 $\mathrm{dim} U=\mathrm{dim} V=n\Rightarrow U\approx V\approx \mathbb F^n$
2. 相似：线性变换 $T: V\to V$ 在不同基底下的表示矩阵
3. 相抵：线性变换 $T: V_1\to V_2$ 在不同基底下的表示矩阵
4. 合同：二次型 $T: V\times V\to \mathbb R$ 在不同基底下的对称阵表示
计算
1. 线性变换的表示矩阵
2. 线性变换的值域与核
3. 线性变换的特征值、特征向量
4. 线性变换的相似对角化：$T\alpha=\alpha A, AP=P\Lambda$，令 $\eta=\alpha P\Rightarrow T\eta=\eta\Lambda$
5. 线性变换的相抵标准形：$T\alpha=\beta A,P_2 AP_1=\begin{bmatrix} I_r&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ ，令 $\eta=\alpha P_1,\gamma=\beta P_2^{-1}, T\eta=\gamma\begin{bmatrix} I_r&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$
6. 过渡矩阵：$\begin{bmatrix} A&B \end{bmatrix}$ 高斯消元得 $\begin{bmatrix} I_r&C \\ 0&0 \end{bmatrix}$，则 $P=C$（$A$ 可逆时 $P=C=A^{-1}B$）
相似对角化的推广：详见线性代数(2)
1. 线性变换的 $\mathrm{Jordan}$ 化
2. 线性变换的 $\mathrm{Hamilton-Cayley}$ 定理
例题
1. 证明：设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$f$ 是其上的线性变换，且存在向量 $a\in V, s.t. f^{n-1}(a)\neq 0, f^n (a)=0$，则 $V$ 存在一组基，使得 $f$ 在该组基下的矩阵 $J_n=\begin{bmatrix} 0&1& & \\ &\ddots&\ddots& \\ & &0&1\\ & & &0 \end{bmatrix}$

九、空间解析几何

叉积与混合积：$x\times y=\mathrm{det}\begin{pmatrix} e_1&e_2&e_3 \\ x_1&x_2&x_3 \\ y_1&y_2&y_3 \end{pmatrix},(x\times y)*z=\mathrm{det}\begin{pmatrix} z_1&z_2&z_3 \\ x_1&x_2&x_3 \\ y_1&y_2&y_3 \end{pmatrix}$
直线与平面
1. $x, y, z$ 共面 $\Leftrightarrow \mathrm{det}\begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3 \\ y_1&y_2&y_3 \\ z_1&z_2&z_3 \end{pmatrix}=0$
2. 平面的参数方程：$\begin{cases} x=x_0+t_1 x_1+t_2 x_2 \\ y=y_0+t_1 y_1+t_2 y_2\\ z=z_0+t_1 z_1+t_2 z_2 \end{cases}$
3. 平面的一般方程：$\mathrm{det}\begin{pmatrix} x-x_0&y-y_0&z-z_0 \\ x_1&y_1&z_1 \\ x_2&y_2&z_2 \end{pmatrix}=0\Rightarrow Ax+By+Cz+D=0$
4. 平面与平面的位置关系：相交 / 平行 / 重合
5. 直线的参数方程：$\begin{cases} x=x_0+tX \\ y=y_0+tY\\ z=z_0+tZ \end{cases}$，消去参数化为标准方程
6. 直线的标准方程：$\displaystyle \frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}$，展开化为一般方程
7. 直线的一般方程：$\begin{cases} A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \end{cases}$，取点化为标准方程
8. 直线与直线的位置关系：异面 / 相交 / 平行 / 重合
9. 直线与平面的位置关系：$(AX+BY+CZ) t+Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$ 解的个数
10. 点到平面的距离：$\displaystyle d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
11. 点到直线的距离：$\displaystyle d=\frac{|AB\times v|}{|v|}$
12. 异面直线的距离：$\displaystyle d=\frac{|(v_1\times v_2)*P_1 P_2|}{|v_1\times v_2|}$
曲面与二次曲面
1. 二次型的化简：$A=P^TBP$，令 $x=Py$，则 $x^TAx=y^TBy$
2. 球面方程：$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
3. 柱面方程：$f (x, y)=0$ 或 $f (x, z)=0$ 或 $f (y, z)=0$
4. 旋转面方程：$f (x,\sqrt{y^2+z^2})=0$ 或 $f (y,\sqrt{x^2+z^2})=0$ 或 $f (z, \sqrt{x^2+y^2})=0$
5. 空间曲线的方程：两个曲面的交线 $\begin{cases} f(x, y, z)=0 \\ g(x, y, z)=0 \end{cases}$
6. 椭球面：$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
7. 单叶双曲面：$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
8. 双叶双曲面：$\displaystyle \frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
9. 锥面：$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
10. 椭圆抛物面：$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
11. 双曲抛物面：$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$
例题
1. 在直角坐标系中，已知平面 $\pi$ 过点 $(1,1,0), (0,0,1), (0,1,1)$，求与平面 $\pi$ 垂直且过点 $(1,1,1)$ 的直线的标准方程
2. 求 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3-4 x_2 x_3=1$ 表示的二次曲面类型
3. 求过点 $(3,2,1)$ 与直线 $\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y}{0}=z$ 平行且与平面 $x-y+z+1=0$ 垂直的平面方程
4. 求实二次型 $f (x_1, x_2, x_3)=x_1^2+x_2^2-x_3^2-2 x_1 x_3$ 的规范形
5. 设三元二次型 $f (x_1, x_2, x_3)=x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2+ax_3^2-x_2 x_3$ 的秩为 $2$
  1. 求参数 $a$
  2. 求正交阵 $Q$，作正交替换 $X=QY$，化二次型 $f (x_1, x_2, x_3)$ 为标准形
  3. 指出 $f (x_1, x_2, x_3)$ 表示何种二次曲面

笔记

#数学 #大一上

线性代数(1)

https://sqzr2319.github.io/LinearAlgebra-1/

作者

sqzr2319

发布于

2025年1月3日

许可协议

程序设计基础上一篇

离散数学(1) 下一篇