微积分A(1)

大一上学期微积分A(1)的复习笔记，目前已完结。

一、数列极限

1. 计算

定义法
1. 固定有限项，分步确定 $N$
  1. 证明：若 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_n=a$，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}=a$
  2. 证明：若 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n}=0$，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\max\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}}{n}=0$
2. 二项式定理放缩
  1. 证明： $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$
  2. 求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^2$
3. 迭代：若 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(2a_n+a_{n+1}\right)=0$，证明 $a_n$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n$
夹逼定理
1. 裂项放缩
  1. 求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{n}{(n+1)^2}+\frac{n}{(n+2)^2}+\dots +\frac{n}{(2n)^2}$
  2. 求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$
  3. 证明： $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{n}}\lt \prod^n_{i=1}\frac{2i-1}{2i}\lt \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$
2. 常用放缩技巧
  1. $\gt 1;\gt 0$
  2. $n!\gt \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}$
  3. 最大/最小/第一项放缩
  4. $\sin ;\cos$ 有界
  5. 分子有理化
  6. $\mathrm{Bernoulli}$ 不等式
  7. 平方差公式：求 $\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2^i}}\right)$
  8. 和差化积
单调收敛原理
1. 递推数列
  1. 若 $\displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{2-a_n^2}{2a_n}$，求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n$
  2. 若 $\displaystyle 0\lt c\le 1,a_1=\frac{c}{2},a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}$，求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n$
  3. 若 $\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}$，求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n$
2. 上界放缩（见常用放缩技巧）
$\mathrm{Stolz}$ 定理
1. 分子或分母为数列形式
2. 分子或分母为 $n$
  1. 证明：若 $\displaystyle a_0=1,a_n=\sin{a_{n-1}}$，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{n}{3}}a_n=1$
  2. 求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$
利用函数（见函数极限）

2. 证明

单调收敛原理
四则运算：若 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(a_n+a_{n+1}\right)=\lim_{n\to \infty}\left(a_n+a_{n+2}\right)=a$，求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n$
$\mathrm{Cauchy}$ 收敛原理
1. 核心：将两元化为一元/放缩（见常用放缩技巧）
2. 证明：若 $\displaystyle a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}a_k}$，则 $a_n$ 收敛
3. 证明：若 $0\lt a\lt 1$，则存在唯一的 $x$，使得 $x-a\sin x=b$
4. 证明：若 $\displaystyle\exists M\gt 0,s.t.\forall n,\sum_{k=1}^n{|x_{k+1}-x_k}|\le M$，则 $\{x_n\}$ 为 $\mathrm{Cauchy}$ 列
5. 证明：若 $\displaystyle\forall n,p\in \mathbb N,|x_n-x_{n+p}|\le\frac{p}{n^2}$，则 $\{x_n\}$ 为 $\mathrm{Cauchy}$ 列
反证法：证明 $a_n=\tan n,a_n=\sin n$ 发散
不同子列收敛到不同极限：证明 $\{(-1)^n\}$ 发散
常用证明技巧
1. 二分区间
2. 取有界列的收敛子列
常见陷阱
1. 无穷个子列的并收敛到同一极限 $\neq$ 极限存在
2. $\displaystyle\lim_{n\to \infty}|x_n-x_{n+p}|=0,\forall p\in \mathbb N\rightarrow \{x_n\}$ 为 $\mathrm{Cauchy}$ 列？反例：$\displaystyle \sqrt n,\ln n,\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$
3. $\displaystyle|x_n-x_{n+p}|\le\frac{p}{n},\forall n,p\in \mathbb N\rightarrow \{x_n\}$ 为 $\mathrm{Cauchy}$ 列？反例： $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

二、函数极限

1. 函数极限

利用数列
1. 取整
2. $\mathrm{Heine}$ 定理
3. 从数列极限继承的方法
4. 三角换元
常见陷阱
1. 无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量
2. $\displaystyle a\gt 1,n\rightarrow \infty,n \cdot o\left(\frac{1}{n^a}\right)\neq o\left(\frac{1}{n^{a-1}}\right)$
3. $0^0,1^\infty,\infty ^0$ 无意义
4. 复合函数极限 $g(x)\neq u_0$ 或 $f(x)$ 连续
5. 极限为 $0$ 的函数不一定为 $k$ 阶无穷小量：$\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$
6. 局部取极限/等价因子替换：改用小 $o$ 或 $\mathrm{Taylor}$ 公式
7. $\mathrm{L^{\prime}Hospital}$ 法则：
  1. 分母的导函数在邻域上不为零
  2. 导函数不一定连续
  3. 若 $f(x)$ 二阶可导，求 $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}$
  4. 若 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=1$，求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(\sin x)-1}{\ln f(x)}$
例题
1. 求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}n^p\sin \left(\sqrt 2+1\right)^n\pi$，其中 $p\gt 0$
2. 对于 $-1\lt a_0\lt 1$，若 $\displaystyle a_n=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}},b_n=4^n\left(1-a_n\right)$，求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n$
3. 已知 $\displaystyle b_1\gt a_1\gt 0$，若 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}b_n}$，求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_n,\lim_{n\to \infty}b_n$
4. 求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt[3]{1+\frac{k}{n^2}}-1\right)$

2. 连续函数

常见反例函数
1. $x^n\sin \frac{1}{x}$
2. $\mathrm{Dirichlet}$ 函数：$D(x)=\begin{cases}0,x\in \mathbb R-\mathbb Q\\1,x\in Q\end{cases}$
3. $\mathrm{Riemann}$ 函数：$R(x)=\begin{cases}0,x\in \mathbb R-\mathbb Q\\\frac{1}{q},x=\frac{p}{q},p,q互质,q\gt 0\end{cases}$
闭区间上连续函数的性质
1. 零点定理
2. 介值定理
3. 有界性定理
4. 最大最小值定理
其他常用定理
1. 开区间上的单调函数：不存在可去间断点
2. 区间上的单调函数：值域为区间 $\leftrightarrow$ 连续
3. 区间上的严格单调连续函数：值域为区间，且反函数在原函数值域上连续
一致连续
1. 等价条件
  1. 闭区间上：连续
  2. 开区间上：$\exists M,\forall x,y,|f(y)-f(x)|\le M|y-x|^p,p\gt 0$
  3. 证伪：$\displaystyle\exists \epsilon_0 \gt 0,\exists \{u_n\},\{v_n\},\lim_{n\to \infty}\left(u_n-v_n\right)=0,|f(u_n)-f(v_n)|\gt \epsilon_0$
2. 例题：判断下列函数在给定区间上是否一致连续
  1. $\ln x,[2,+\infty)$
  2. $\sin x,[1,+\infty)$
  3. $x^\frac{1}{2},[0,+\infty)$
  4. $\sin x^2,x\in \mathbb R$
常用证明技巧
1. 二分区间
2. 闭区间套定理
3. 取有界列的收敛子列
4. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\Leftrightarrow \exists \{x_n\},x_n\rightarrow +\infty,f(x_n)\lt a$
5. 补充间断点或无穷远点构造闭区间连续条件
例题
1. 已知 $f,g\in C[a,b],\{x_n\}\subset [a,b]$，若 $f(x_1)<g(x_1)$，且 $\forall x\in \mathbb N,g(x_n)=f(x_{n+1})$，证明：$\exists \xi \in [a,b],s.t. f(\xi)=g(\xi).$
2. 已知 $f\in C\{0\}$，若 $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb R$，证明：$f(x)=cx.$
3. 证明：若 $f(x)$ 只有可去间断点，令 $\displaystyle g(x)=\lim_{t\to x}f(t)$，则 $g(x)$ 为连续函数
4. $(2023)$ 设 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上连续. 假设极限 $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ 存在且有限，证明 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上或者有最大值，或者有最小值.

三、导数与微分

1. 导数

常见陷阱
1. 存在 $\mathrm{Weierstrass}$ 函数处处连续处处不可导
2. 导数的四则运算要求 $f(x),g(x)$ 导数存在
3. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导 $\to$ $f^{\prime}(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续？反例：$\displaystyle x^2\sin \frac{1}{x}$
4. $f(x)\in C[a,b]$，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导 $\to$ $f^{\prime}_+(a),f^{\prime}_-(b)$ 存在？反例：$\displaystyle|x|^a\sin \frac{1}{x},0\lt a\le 1$
5. 可导的严格单调递增函数 $f^{\prime}(x)\gt 0$ ？反例：$x^3$
6. 导函数的左极限 $\neq$ 左导数
例题
1. 利用微分求近似：$\sin 29°$
2. 求滑动门的包络线：$\begin{cases}\frac{x}{\cos \theta}+\frac{y}{\sin \theta}=1\\\frac{y^{\prime}(\theta)}{x^{\prime}(\theta)}=\frac{dy}{dx}=-\tan \theta\end{cases}$
3. $(2023)$ 求常数 $a$ 和 $b$，使得函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}\cos x, x\ge 0\\\frac{x^2+ax+b}{1+x}, x\lt 0\end{cases}$ 在点 $x=0$ 处可导.
高阶导数
1. 递推法
  1. 令 $y=(\arcsin x)^2$，求 $y^{(n)}(0)$
  2. 令 $y=\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^m$，求 $y^{(n)}(0)$
  3. 令 $f(x)=\arctan x$，证明：$(1+x^2)f^{(n+2)}(x)+2(n+1)xf^{(n+1)}(x)+n(n+1)f^{(n)}(x)=0$，并求 $f^{(n)}(0)$
2. 利用多项式性质
  1. 令 $\displaystyle P_{n,m}(x)=\frac{d^n}{dx^n}\left(1-x^m\right)^n$，求 $P_{n,m}(1)$
  2. 证明 $f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}},x\neq 0\\0,x=0\end{cases}$ 任意阶可导，并求 $f^{(n)}(0)$
3. 利用 $\mathrm{Euler}$ 公式：$e^{x+iy}=e^x (\cos y+i\sin y)$
  1. 令 $f (x)=e^x\sin x$，求 $f^{(n)}(x)$
4. 利用级数 $\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum^\infty_{n=0}x^n$
  1. $(2023)$ 求函数 $f (x)$ 在点 $x=0$ 处的 $2023$ 阶导数值 $f^{(2023)}(0)$

2. 微分中值定理

定理内容
1. $\mathrm{Fermat}$ 引理
2. $f(x),g(x)\in C[a,b],f(x),g(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导
  1. $\mathrm{Rolle}$ 中值定理
  2. $\mathrm{Lagrange}$ 中值定理
  3. $\mathrm{Cauchy}$ 中值定理
3. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导：$\mathrm{Darboux}$ 定理
  1. 推论：导函数没有第一类间断点（即导函数的介值性质）
4. 广义 $\mathrm{Rolle}$ 中值定理
  1. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导，$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to b^-}f(x)$，则 $\exists \xi \in (a,b),s.t.f^{\prime}(\xi)=0$
  2. $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)$，则 $\exists \xi \in (a,+\infty),s.t.f^{\prime}(\xi)=0$
应用
1. 求极限
  1. 求 $\displaystyle\lim_{x\to e}\frac{\tan x^x-\tan e^x}{e^{x^x}-e^{e^x}}$
  2. 求$\displaystyle\lim_{n\to \infty}n(\arctan \ln (n+1)-\arctan \ln n))$
2. 证明不等式
  1. 证明： $\displaystyle\frac{x}{1+x}\lt \ln (1+x)\lt x$，其中 $x\gt -1$，且 $x\neq 0$
  2. 证明： $px^{p-1}\le (x+1)^p-x^p\le p(x+1)^{p-1}$，其中 $p\gt 0$，并求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{1^p+2^p+\dots +n^p}{(n+1)^{p+1}}$
  3. 证明： $\displaystyle\frac{a^\frac{1}{n+1}}{(n+1)^2}\lt \frac{a^\frac{1}{n}-a^\frac{1}{n+1}}{\ln a}\lt \frac{a^\frac{1}{n}}{n^2}$
  4. 证明： $a^y-a^x\gt (\cos x-\cos y)a^x\ln a$，其中 $\displaystyle 0\lt x\lt y\lt \frac{\pi}{2},a\gt 1$
  5. 已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，若 $f^{\prime}(x)$ 单调递减，且 $f(0)=0$，证明：$f(x_1+x_2)\le f(x_1)+f(x_2)$
3. 利用 $\mathrm{Rolle}$ 分析零点存在性
  1. 证明： $x^4+2x^3+6x^2-4x-5=0$ 有且仅有两个不同的实根
  2. 证明： $n$ 阶 $\mathrm{Laguerre}$ 多项式 $\displaystyle L_n(x)=e^x\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且仅有 $n$ 个根
4. 辅助函数 $(\mathrm{I})$：利用 $e^x$
  1. $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)f(x)$：构造 $(f(x)e^{g(x)})^{\prime}$
  2. $f^{\prime\prime}(x)+2f^{\prime}(x)+f(x)$：构造 $(f(x)e^x)^{\prime\prime}$
  3. $f^{\prime\prime}(x)-f(x)$：构造 $(e^x(f^{\prime}(x)-f(x)))^{\prime}$ 或 $(e^{-x}(f^{\prime}(x)+f(x)))^{\prime}$
  4. $f^{\prime\prime}(x)-f^{\prime}(x)$：构造 $(f^{\prime}(x)-f(x))^{\prime}$ 或 $(e^{-x}f^{\prime}(x))^{\prime}$
  5. 若 $f(x)$ 在 $\displaystyle\left[\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right]$ 上可导，$\displaystyle f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=f\left(\frac{7\pi}{4}\right)=0$，证明：$\displaystyle\exists \xi \in \left(\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right),f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=\cos \xi$
5. 辅助函数 $(\mathrm{II})$：利用微分方程
  1. 若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,g^{\prime\prime}(x)\neq 0(x\in (a,b))$，证明：$\displaystyle\exists \xi \in (a,b),s.t.\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{g^{\prime\prime}(\xi)}$：构造 $h(x)=f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)$
  2. 若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，$g^{\prime}(x)\neq 0(x\in (a,b))$，证明：$\displaystyle\exists \xi \in (a,b),s.t.\frac{f(a)-f(\xi)}{g(\xi)-g(b)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$：构造 $h(x)=(f(a)-f(x))(g(x)-g(b))$
  3. 若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0,f(x)\gt 0(0\lt x\lt 1)$，证明：$\displaystyle\exists \xi \in (0,1),s.t.\frac{2f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f^{\prime}(1-\xi)}{f(1-\xi)}$：构造 $h(x)=f^2(x)f(1-x)$
  4. 若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，$f(x)>0(x\in [0,1]),f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=0$，证明：$\exists \xi \in (0,1),s.t.f(\xi)f^{\prime\prime}(\xi)-2(f^{\prime}(\xi))^2=0$：构造 $\displaystyle h(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f^2(x)}$
例题
1. 若 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 上连续，在 $(a,b)\cup (b,c)$ 上可导，证明：$\displaystyle\exists \xi \in [a,c],s.t.\left| \frac{f(c)-f(a)}{c-a}\right| \le \vert f^{\prime}(\xi)\vert$
2. 若 $\displaystyle f(x)\in C^1[0,+\infty)$，且 $\displaystyle0\le f(x)\le \frac{x}{1+x^2}$，证明：$\displaystyle\exists \xi \gt 0,s.t. f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi ^2}{(1+\xi ^2)^2}$
3. 已知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，若 $\displaystyle\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$ 存在且有限，且 $\vert f^{\prime}(x)\vert$ 在 $(a,+\infty)$ 上递减，证明：$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}xf^{\prime}(x)=0$

3. Taylor 公式

求法
1. 典式：$e^x,\sin x,\cos x,\tan x,\ln (1+x),(1+x)^a,(1+x)^{-1},(1-x)^{-1}$
2. 变量替换：$\displaystyle \frac{1}{2x-x^2}(x=1),e^{\sin ^2x}$
3. 长除法：$\displaystyle \frac{1}{\cos x},\frac{x}{x^2-2x+2}(x=1)(2023)$
4. 利用奇偶性待定系数：$\displaystyle \frac{1}{\cos x},\arcsin x$
5. 利用级数（见高阶导数）：$\displaystyle \frac{x}{x^2-2x+2}(x=1)(2023)$
应用
1. 求近似：$\sqrt[12]{4000}$
2. 利用带 $\mathrm{Lagrange}$ 余项的 $\mathrm{Taylor}$ 展式
  1. 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，证明：$\displaystyle \exists \xi \in (a,b),f(b)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(a)=\frac{(b-a)^2}{4}f^{\prime\prime}(\xi)$
  2. 证明：$e\in \mathbb R-\mathbb Q$
  3. 令 $f (x)=f (0)+f^{\prime} (0) x+\frac{1}{2}f^{\prime\prime} (\theta (x) x) x^2,\theta (x)\in (0,1)$，证明：若 $f^{\prime\prime\prime} (x)\neq 0$，则 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\theta (x)=\frac{1}{3}$
3. 求数列极限：若 $\displaystyle a_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots \frac{-1^{n-1}}{n}$，求 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n$
4. 利用两个对称的 $\mathrm{Taylor}$ 展式
  1. 若 $f (x)$ 在 $[-1,1]$ 上三阶可导，且 $f (1)=1, f (-1)=0, f^{\prime} (0)=0$，证明：$\exists \xi \in [-1,1], f^{\prime\prime\prime} (\xi)=3$
  2. 若 $\forall x\in \mathbb R,\vert f (x)\vert \le M_0, \vert f^{\prime\prime} (x)\vert \le M_2$，证明：$\vert f^{\prime} (x)\vert \le \sqrt{2 M_0 M_2}$
  3. 若 $\forall x\in (0,1),\vert f (x)\vert \le M_0, \vert f^{\prime\prime} (x)\vert \le M_2$，证明：$\vert f^{\prime} (x)\vert \le 2M_0+\frac{1}{2}M_2$

4. 导数的应用

凹凸性
1. 开区间上的凸函数连续，且每一点处左右导数存在
2. 闭区间反例：$\arcsin x, x\in[0,1], f (x)=\begin{cases}x^2, -1\lt x\lt 1\\2, x=\pm 2 \end{cases}$ （左右端点处）
3. 开/闭区间可导，则闭区间下凸 $\Leftrightarrow$ 每一点切线在曲线下方
4. 闭区间连续、开区间可导，则闭区间下凸 $\Leftrightarrow$ 导函数在开区间单增
5. 闭区间连续、开区间二阶可导，则闭区间下凸 $\Leftrightarrow$ 二阶导 $\ge 0$
$\mathrm{Newton}$ 法
1. 设 $f\in C^2[a, b], f (a) f (b)\lt 0,\forall x\in[a, b], f^{\prime}(x) f^{\prime\prime}(x)\neq 0$，且 $f$ 在 $(a, b)$ 上有唯一零点 $c$，则任取 $x_0\in[a, b]$，令 $\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f (x_n)}{f^{\prime} (x_n)}$，若 $x_1\in [a, b]$，则 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}x_n=c$，且 $\displaystyle |x_{n+1}-c|\le \frac{M}{2 m}|x_n-c|^2, M=\sup_{x\in[a, b]}|f^{\prime\prime} (x)|, m=\inf_{x\in[a, b]}|f^{\prime} (x)|$
函数作图
1. 要点：定义域、周期性、奇偶性、对称性、渐近线、增减性、凹凸性、特殊点
2. 斜渐近线 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{x\to \infty} \frac{f (x)}{x}=a,\lim_{x\to \infty}(f (x)-ax)=b$
例题
1. 证明：$\displaystyle ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$，其中 $\displaystyle p\gt 1, q\gt 1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, a\gt 0, b\gt 0$
2. 求曲线 $y^3-x^3+3 xy=0$ 的渐近线
3. $(2024)$ 利用函数的凹凸性证明：
  1. $\forall x\in (0,1),n\in \mathbb N$，$\displaystyle \frac{n^x\cdot n!}{(x+1)\cdots (x+n)}\lt 1$
  2. $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\frac{n^x\cdot n!}{(x+1)\cdots (x+n)}$ 存在

四、积分

1. 不定积分

常用方法
1. 分部积分
2. 有理分式分解
3. 三角换元
4. 万能替换
5. 可化为有理式的简单无理式
6. $\mathrm{Euler}$ 换元
7. 联合积分法
8. 递推法
例题
1. $\displaystyle \int \sqrt{x^2+a^2} dx$
2. $\displaystyle \int \left((x+a)^2+b^2\right)^{-k}dx, b\neq 0$
3. $\displaystyle I=\int e^{ax}\sin bx dx, J=\int e^{ax} \cos bx dx$
4. $\displaystyle \int \frac{\alpha \cos x+\beta \sin x}{\lambda \cos x+\mu \sin x}dx$
5. $\displaystyle I=\int \frac{1}{1+x^2+x^4}dx, J=\int \frac{x^2}{1+x^2+x^4}dx$
6. $\displaystyle I=\int \frac{\cos^3 x}{\cos x+\sin x}dx, J=\int \frac{\sin^3 x}{\cos x+\sin x}dx$
7. $\displaystyle \int \frac{1}{\sin (x+a)\sin (x+b)}dx, a-b\neq k\pi, k\in \mathbb Z$
8. $\displaystyle \int e^x\left (\frac{1-x}{1+x^2}\right)^2 dx$
9. $\displaystyle \int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^x dx$
10. $\displaystyle \int \frac{x^2-1}{x^2+1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^2+x^4}}$
11. $\displaystyle \int \frac{5 x^3+3 x-1}{(x^3+3 x+1)^3}dx$
12. $\displaystyle \int \frac{1-2 x^3}{(x^2-x+1)^3}dx$
13. $\displaystyle \int \frac{1}{x^4+1}dx$

2. 定积分与广义积分

常用方法
1. 转为不定积分（见不定积分）
2. 颠倒积分区间后相加
3. 递推法
4. 拆积分区间
例题
1. $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\arctan x}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}dx$
2. $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$
3. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos xdx$
4. $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{x\ln x}{(1+x^2)^2}dx$
5. $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\arctan ax-\arctan bx}{x}dx$，其中 $a,b\gt 0$
6. 证明：$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^nxdx$，并求 $I_n$
7. $f\in C[1,+\infty)$，证明：$\forall a\gt 1,\displaystyle \int_1^a f (x^2+\frac{a^2}{x^2})\frac{dx}{x}=\int_1^a f (x+\frac{a^2}{x})\frac{dx}{x}$

3. 应用

平面区域的面积：函数形式、极坐标形式、参数方程形式
曲线弧长：函数形式、参数方程形式（极坐标转化为参数方程）
旋转体的体积：函数形式、参数方程形式
旋转面的面积：函数形式、参数方程形式（极坐标转化为参数方程）
平面曲线的曲率
积分的物理应用

4. 积分审敛

$\mathrm{Cauchy}$ 收敛原理
非负函数：比较判别法
变号函数：$\mathrm{Dirichlet}$ 判别法、$\mathrm{Abel}$ 判别法

5. 证明

常用定理
1. 积分估值
2. $\mathrm{Cauchy}$ 不等式
3. 积分第一中值定理
4. 积分第二中值定理
5. $\mathrm{Newton-Leibnitz}$ 公式
6. 带积分余项的 $\mathrm{Taylor}$ 公式：余项为 $\displaystyle \frac{1}{n!}\int_{x_0}^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt$
例题
1. $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，$\displaystyle f (1)=4\int_{0}^{\frac{1}{4}}e^{1-x^3}f (x) dx$，证明：$\exists \xi \in[0,1], s.t. f^{\prime} (\xi)=3\xi^2 f (\xi)$
2. $f$ 可导，$f^{\prime} (0)\neq 0$，$\displaystyle \int_{0}^{x}f (t) dt=f (\xi (x)) x$，其中 $\xi (x)=(0, x)$，求 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\xi (x)}{x}$
3. $f\in C^2[-1,1]$，$f (0)=0$，证明：$\displaystyle \exists \xi \in [-1,1], s.t.f^{\prime\prime} (\xi)=3\int_{-1}^{1}f (x) dx$
4. $\displaystyle f, g\in C[a, b],\int_{a}^{x}f (t) dt\ge \int_{a}^{x}g (t) dt$，其中 $a\le x\le b$，且 $\displaystyle \int_{a}^{b}f (t) dt=\int_{a}^{b}g (t) dt$，证明：$\displaystyle \int_{a}^{b}xf (x) dx\le \int_{a}^{b}xg (x) dx$
5. $f\in C^1[a, b]$，且 $f (a)=0$，证明：$\displaystyle \int_a^b f^2 (x) dx\le \frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b (f^{\prime} (x))^2 dx-\frac{1}{2}\int_a^b (x-a)^2 (f^{\prime} (x))^2 dx$
6. 证明：$\displaystyle \left (\frac{2 n-1}{e}\right)^{\frac{2 n-1}{2}}\lt 1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2 n-1)\lt \left (\frac{2 n+1}{e}\right)^{\frac{2 n+1}{2}}$
7. $f\in C^1[0, a]$，$f (0)=0$，证明：$\displaystyle \int_0^a|f (x) f^{\prime} (x)|dx\le \frac{a}{2}\int_0^a (f^{\prime} (x))^2 dx$
8. $f\in C^1[0,1]$，证明：
  1. $\displaystyle |f (x)|\le\int_0^1|f (t)|dt+\int_0^1|f^{\prime} (t)|dt$，其中 $x\in[0,1]$
  2. $\displaystyle \left|f \left(\frac{1}{2}\right)\right|\le\int_0^1|f (t)|dt+\frac{1}{2}\int_0^1|f^{\prime} (t)|dt$
9. 证明：$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-R\sin x}\begin{cases}\lt \frac{\pi}{2 R}(1-e^{-R}), R\gt 0\\\gt \frac{\pi}{2 R}(1-e^{-R}), R\lt 0 \end{cases}$
10. 证明下列等式：
  1. $\displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\frac{1}{k}C_n^k=1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{n}$
  2. $\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{1}{2 k+1}C_n^k=\frac{(2 n)!!}{(2 n+1)!!}$
11. 设 $f (x)$ 在每个有限区间上可积，且 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f (x)=A,\lim_{x\to -\infty}f (x)=B$，其中 $A, B$ 都是有限数，证明：$\displaystyle \forall a\gt 0,\int_{-\infty}^{+\infty}(f (x+a)-f (x)) dx$ 存在，并求其值
12. 设函数 $f (x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且极限 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f (x)$ 存在，记作 $f (+\infty)$，证明：$\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{f (ax)-f (bx)}{x}dx=(f (0)-f (+\infty)) \ln\frac{b}{a}$，其中 $a, b$ 为两个正数
13. $\displaystyle \int_a^{+\infty} f (x) dx$ 收敛，$f (x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调，证明：$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}xf (x)=0$
14. 设 $f (x)$ 在 $(0,1]$ 上单调，在 $x=0$ 的邻域内无界，证明：$\displaystyle \int_0^1 f (x) dx$ 收敛时，有 $\displaystyle \int_0^1 f (x) dx=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)$；对于一般的 $f (x)$，瑕积分 $\displaystyle \int_a^b f (x) dx$ 是否可以看成相应 $\mathrm{Riemann}$ 和 $\displaystyle \sum_{i=1}^nf (\xi_i)\Delta x_i$ 的极限？
15. 设 $f\in C (0,+\infty)$，且 $\forall a\gt 0, b\gt 1$，都有积分值 $\displaystyle \int_a^{ab}f (x) dx$ 与 $a$ 无关，求证：存在常数 $C$，使得 $\displaystyle f (x)=\frac{C}{x}, x\in (0,+\infty)$

五、常微分方程

1. ODE 的计算

一阶 $\mathrm{ODE}$
1. 变量分离法
2. 常数变易法
3. 齐次方程：$\displaystyle y^{\prime}=f \left(\frac{y}{x}\right)\Rightarrow$ 令 $\displaystyle u=\frac{y}{x}$
4. 一次分式：$\displaystyle y^{\prime}=\frac{a_1 x+b_1 y+c_1}{a_2 x+b_2 y+c_2}$
  1. $\displaystyle c_1=c_2=0\Rightarrow y^{\prime}=\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}}$，再令 $\displaystyle u=\frac{y}{x}$
  2. $\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=k\Rightarrow$ 令 $\displaystyle a_2 x+b_2 y=u$
  3. $\displaystyle \begin{cases}a_1 x+b_1 y+c_1\\a_2 x+b_2 y+c_2 \end{cases}$ 交于一点 $(x_0, y_0)\Rightarrow$ 令 $\displaystyle \begin{cases}X=x-x_{0}\\Y=y-y_{0} \end{cases}$，再令 $\displaystyle u=\frac{Y}{X}$
5. 一阶隐方程
  1. $y=f (x, y^{\prime})\Rightarrow$ 令 $u=y^{\prime}$，再两边对 $x$ 求导
  2. $x=f (y, y^{\prime})\Rightarrow$ 令 $u=y^{\prime}$，再两边对 $y$ 求导
  3. $F (x, y^{\prime})=0\Rightarrow$ 令 $u=y^{\prime}$，若 $\displaystyle \begin{cases}x=f(t)\\u=g (t) \end{cases}$，则 $\displaystyle \begin{cases}x=f(t)\\y=\int g (t) f^{\prime} (t) dt+C \end{cases}$
  4. $F (y, y^{\prime})=0\Rightarrow$ 令 $u=y^{\prime}$，若 $\displaystyle \begin{cases}y=f(t)\\u=g (t) \end{cases}$，则 $\displaystyle \begin{cases}x=\int g(t) f^{\prime}(t) dt+C\\y=f (t) \end{cases}$
6. 恰当方程
  1. $ydx+xdy=d (xy)$
  2. $\displaystyle \frac{ydx-xdy}{y^2}=d\left (\frac{y}{x}\right)$
  3. $\displaystyle \frac{ydx-xdy}{x^2}=-d\left (\frac{x}{y}\right)$
  4. $\displaystyle \frac{ydx-xdy}{xy}=d\left (\ln\left|\frac{x}{y}\right|\right)$
  5. $\displaystyle \frac{ydx-xdy}{x^2+y^2}=d\left (\arctan \frac{x}{y}\right)$
  6. $\displaystyle \frac{ydx-xdy}{x^2-y^2}=d\left (\ln\left|\frac{x-y}{x+y}\right|\right)$
7. 特殊方程
  1. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=p (x) y+q (x) y^n\Rightarrow y^{-n}\frac{dy}{dx}=p (x) y^{1-n}+q (x)\Rightarrow$ 令 $z=y^{1-n}$
  2. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=p (x) y^2+q (x) y+r (x)\Rightarrow$ 找特解 $\psi (x)$，再令 $z=y-\psi (x)$
高阶 $\mathrm{ODE}$
1. 降阶法
  1. $F (x, y^{(k)}, y^{(k+1)},\dots ,y^{(n)})=0\Rightarrow$ 令 $u=y^{(k)}$
  2. $F (y, y^{\prime}, \dots ,y^{(n)})=0\Rightarrow$ 令 $u=y^{\prime}$
  3. $y, y^{\prime}, \dots ,y^{(n)}$ 以齐次多项式出现 $\Rightarrow$ 令 $\displaystyle u=\frac{y^{\prime}}{y}$
2. 二阶线性 $\mathrm{ODE}$ 的常数变易法
  1. 已知两个线性无关解：假设 $c_1^{\prime} (x) y_1(x)+c_2^{\prime} (x) y_2 (x)=0$
  2. 已知一个非零解
3. 常系数 $\mathrm{ODE}$ 的特征法
  1. 齐次：单实根、单复根、多重实根、多重复根
  2. 非齐次
    1. $p (t) e^{\lambda t}\Rightarrow q (t) t^ke^{\lambda t}$
    2. $p (t) e^{\alpha t}\sin \beta t$ 或 $p (t) e^{\alpha t}\cos \beta t\Rightarrow t^k[P (t) \cos\beta t+Q (t)\sin \beta t]e^{\alpha t}$
    3. 叠加原理
4. $\mathrm{Euler}$ 方程：$x^ny^{(n)}+a_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{n-1}xy^{\prime}+a_nx=f (x)$
  1. 令 $u=\ln|x|\Rightarrow x^ny^{(n)}=D (D-1)\dots (D-n+1) y$，其中 $D$ 表示 $\displaystyle \frac{d}{du}$
微分方程组：计算相似对角化 $\Rightarrow$ 计算矩阵幂次 $\Rightarrow$ 常数变易
例题
1. $xy^{\prime}+y=y\ln (xy)$
2. $xdy-ydx=\sqrt{x^2+y^2}dx$
3. $y^{\prime\prime}\cos x-2 y^{\prime}\sin x+3 y\cos x=e^x$
4. $(x-2 xy-y^2) y^{\prime}+y^2=0$
5. $y^4 dx+(2 x^2-3 xy^3) dy=0$
6. $x^{\prime}=\begin{pmatrix} 3&5\\ -5&3\end{pmatrix}x$
7. $\begin{cases} x^{\prime}=-3x-y\\y^{\prime}=x-y\end{cases}$
8. $x^{\prime}=\begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix} x+\begin{pmatrix} e^{-t} \\ 0 \end{pmatrix}$，$x(0)=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}$
9. $\begin{cases} x^{\prime}=y+z\\y^{\prime}=z+x\\z^{\prime}=x+y\end{cases}$，$\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=5\end{cases}$

2. 证明题

解的存在唯一性定理
1. 一阶 $\mathrm{ODE}$
2. 一阶线性 $\mathrm{ODE}$
3. 高阶线性 $\mathrm{ODE}$
4. 微分方程组
例题
1. $\displaystyle f\in C^1[0,+\infty),\lim_{x\to +\infty}f (x)+f^{\prime} (x)=0$，求 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f (x)$
2. $f (x), g (x), y (x)\in C[a, b], f (x)\gt 0,\displaystyle y (x)\le g (x)+\int_a^x f (t) y (t) dt,\forall x\in [a, b]$，证明：$\displaystyle y (x)\le g (x)+\int_a^xf (t) g (t) e^{\int_t^xf (s) ds}dt,\forall x\in[a, b]$
3. $f (x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle \forall x\ge 0,0\le \int_0^xf (t) dt\le f^2 (x)$，证明：
  1. 若存在 $0\le a\lt b, f (a)=f (b)=0$，则 $\forall x\in[a, b], f (x)=0$
  2. 若存在 $c\gt 0, f (c)\neq 0$，则 $\displaystyle f (x)\gt \frac{1}{2}(x-c)$
4. 设 $f (x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续，且满足 $\displaystyle (f (x))^2\le 1+2\int_0^x f (t) dt, x\in [0,1]$，证明：$f (x)\le 1+x, x\in[0,1]$
5. $(2023)$ 在微分方程 $y^{\prime}+a (x) y=b (x)$ 中，已知 $a(x), b(x)\in C(\mathbb R)$，若 $\exists c\gt 0, s.t. a (x)\ge c,\forall x\ge 0$，且 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}b (x)=0$，证明：该方程的任意解 $y (x)$ 均满足 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} y (x)=0$
6. $(2023)$ 设函数 $f (x)\in C[0,1]$，且满足 $\displaystyle |f (x)|\le 1+\int_0^x f (t) dt,\forall x\in[0,1]$，证明：$|f (x)|\le e^x,\forall x\in [0,1]$
7. 设 $p (x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1 x+a_0$ 为实系数 $n$ 次多项式，若 $p (x)\ge 0, x\in \mathbb R$，证明：$p (x)+p^{\prime} (x)+\dots +p^{(n)}(x)\ge 0, x\in \mathbb R$
8. 证明：若函数 $f$ 在 $\mathbb R$ 上可导，且 $\forall x\in \mathbb R$，$\begin{cases} |f^{\prime}(x)|\ge |f(x)|\\ |f(x)|\le \sqrt{2}\end{cases}$，则 $f=0$

笔记

#数学 #大一上

微积分A(1)

https://sqzr2319.github.io/Calculus-A1/

作者

sqzr2319

发布于

2025年1月9日

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