线性代数(2)

大一下学期线性代数(2)的复习笔记，目前更新至 Jordan 标准形。

一、基本定义

1. 复数
   1. 矩阵形式：$T(a+bi)=\begin{pmatrix} a & -b \ b & a \end{pmatrix}$，$T$ 保持加法和乘法
   2. 复数的幂：整数幂唯一，有理数 $\frac{p}{q}$ 次幂有$p$个，无理数次幂无穷多
   3. $\mathrm{Hermite}$ 共轭：$A^H=\overline{A^T}=\overline{A}^T$
2. 代数结构：详见离散数学(2)
   1. 半群：封闭性、结合律
   2. 群：半群 $+$ 单位元、逆元
   3. 交换群（$\mathrm{Abel}$ 群）：群 $+$ 交换律
   4. 环：加法交换群 $+$ 乘法半群 $+$ 分配律
   5. 域：环 $+$ 乘法交换群

二、多项式

1. 综合除法：$f(x)=x^3-4x^2-5x+2$，求 $f(-3)$ 或求 $f(x)$ 除以 $x+3$ 的余式
   $$\begin{bmatrix} -3 & 1 & -4 & -5 & 2 \ & & -3 & 21 & -48 \ \hline & 1 & -7 & 16 & -46 \end{bmatrix}$$
2. 将 $f(x)$ 分解成 $x-a$ 的方幂和：$f(x)=(x-a)g_0(x)+r_0(x)=(x-a)((x-a)g_1(x)+r_1(x))+r_0(x)$
3. $\mathrm{Lagrange}$ 插值
   1. $n=1$ 时：$f(x)=f(x_0)\frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}+f(x_1)\frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}$
   2. $L_i(x)=\frac{(x-a_0)\cdots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots(x-a_n)}{(a_i-a_0)\cdots(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots(a_i-a_n)}$,$L(x)=\sum_{i=0}^n f(a_i)L_i(x)$
4. $\mathrm{Bezout}$ 等式：$(f(x),g(x))=f(x)u(x)+g(x)v(x)$
   1. $f(x)=p(x)g(x)+r(x),g(x)=q(x)r(x)+s(x),r(x)=t(x)s(x)\Rightarrow s(x)=g(x)-q(x)r(x)=g(x)-q(x)(f(x)-p(x)g(x))$
   2. $f(x)u(x)+g(x)v(x)=h(x)$ 不能推出 $h(x)$ 是最大公因式
   3. $f(x)u(x)+g(x)v(x)=1\Leftrightarrow f(x)$ 和 $g(x)$ 互质
5. 有理根定理：$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$，$\frac{p}{q}$ 是 $f(x)$ 的有理根 $\Rightarrow p|a_0,q|a_n$
6. 三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的根的性质
   1. $\mathrm{Vieta}$ 定理：$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$
   2. $x^3+px+q=0$ 的判别式：$\Delta=-4p^3-27q^2$，$\Delta>0$ 有三个不相等的实根，$\Delta=0$ 有两个相等的实根，$\Delta<0$ 有一个实根和两个共轭复根

三、$\mathrm{Jordan}$ 标准形

1. $\mathrm{Ker}T,\mathrm{Im}T,\mathrm{Ker}(T-aI)^k,\mathrm{Im}(T-aI)^k$ 是 $T-$ 不变子空间
2. 极小多项式
   1. 唯一且相似矩阵的极小多项式相同
   2. 分块对角矩阵的极小多项式为分块对角矩阵的极小多项式的最小公倍式
   3. 设 $|\lambda I_n-A|=(\lambda -\lambda_1)^{n_1}(\lambda -\lambda_2)^{n_2}\cdots(\lambda -\lambda_s)^{n_s}$，则 $m_A(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}(x-\lambda_2)^{m_2}\cdots(x-\lambda_s)^{m_s}$，其中 $m_i$ 是使 $G_{\lambda_i}(A)$ 的维数最大的最小整数
   4. 推论：可对角化等价于极小多项式无重根
   5. 推论：若存在向量 $v$ 使得 $v,T(v),T^2(v),\cdots,T^{k}(v)$ 线性无关，则 $T$ 的极小多项式次数大于 $k$
3. 循环子空间
   1. 幂零变换 $\Leftrightarrow$ 只有零特征值
   2. 极大循环子空间 $\Leftrightarrow v\notin \mathrm{Im} T$
   3. 循环子空间直和分解定理
      1. 循环子空间个数 $=\mathrm{dim} \mathrm{Ker} T=$ 零特征值的几何重数
      2. 循环子空间最大维数 $=$ 幂零次数 $=$ 极小多项式次数
      3. 阶数为 $d$ 的 $\mathrm{Jordan}$ 块个数 $=r(A^{d-1})+r(A^{d+1})-2r(A^d)$