线性代数(2)

大一下学期线性代数(2)的复习笔记，目前已完结。

一、复数

1. 矩阵形式：$T(a+bi)=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$，$T$ 保持加法和乘法
2. 复数的幂：整数幂唯一，有理数 $\frac{p}{q}$ 次幂有$p$个，无理数次幂无穷多

二、多项式

1. 综合除法：$f(x)=x^3-4x^2-5x+2$，求 $f(-3)$ 或求 $f(x)$ 除以 $x+3$ 的余式
   $$\begin{bmatrix} -3 & 1 & -4 & -5 & 2 \\ & & -3 & 21 & -48 \\ \hline & 1 & -7 & 16 & -46 \end{bmatrix}$$
2. 将 $f(x)$ 分解成 $x-a$ 的方幂和：$f(x)=(x-a)g_0(x)+r_0(x)=(x-a)((x-a)g_1(x)+r_1(x))+r_0(x)$
3. $\mathrm{Lagrange}$ 插值
   1. $n=1$ 时：$f(x)=f(x_0)\frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}+f(x_1)\frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}$
   2. $L_i(x)=\frac{(x-a_0)\cdots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\cdots(x-a_n)}{(a_i-a_0)\cdots(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots(a_i-a_n)}$,$L(x)=\sum_{i=0}^n f(a_i)L_i(x)$
4. $\mathrm{Bezout}$ 等式：$(f(x),g(x))=f(x)u(x)+g(x)v(x)$
   1. $f(x)=p(x)g(x)+r(x),g(x)=q(x)r(x)+s(x),r(x)=t(x)s(x)\Rightarrow s(x)=g(x)-q(x)r(x)=g(x)-q(x)(f(x)-p(x)g(x))$
   2. $f(x)u(x)+g(x)v(x)=h(x)$ 不能推出 $h(x)$ 是最大公因式
   3. $f(x)u(x)+g(x)v(x)=1\Leftrightarrow f(x)$ 和 $g(x)$ 互质
5. 有理根定理：$f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$，$\frac{p}{q}$ 是 $f(x)$ 的有理根 $\Rightarrow p|a_0,q|a_n$
6. 三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 的根的性质
   1. $\mathrm{Vieta}$ 定理：$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a},x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$
   2. $x^3+px+q=0$ 的判别式：$\Delta=-4p^3-27q^2$，$\Delta>0$ 有三个不相等的实根，$\Delta=0$ 有两个相等的实根，$\Delta<0$ 有一个实根和两个共轭复根

三、Jordan 标准形

1. $\mathrm{Ker}T,\mathrm{Im}T,\mathrm{Ker}(T-aI)^k,\mathrm{Im}(T-aI)^k$ 是 $T-$ 不变子空间
2. 极小多项式
   1. 唯一且相似矩阵的极小多项式相同
   2. 分块对角矩阵的极小多项式为分块对角矩阵的极小多项式的最小公倍式
   3. 设 $|\lambda I_n-A|=(\lambda -\lambda_1)^{n_1}(\lambda -\lambda_2)^{n_2}\cdots(\lambda -\lambda_s)^{n_s}$，则 $m_A(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}(x-\lambda_2)^{m_2}\cdots(x-\lambda_s)^{m_s}$，其中 $m_i$ 是使 $G_{\lambda_i}(A)$ 的维数最大的最小整数
   4. 推论：可对角化等价于极小多项式无重根
   5. 推论：若存在向量 $v$ 使得 $v,T(v),T^2(v),\cdots,T^{k}(v)$ 线性无关，则 $T$ 的极小多项式次数大于 $k$
3. 循环子空间
   1. 幂零变换 $\Leftrightarrow$ 只有零特征值
   2. 极大循环子空间 $\Leftrightarrow v\notin \mathrm{Im} T$
   3. 循环子空间直和分解定理
      1. 循环子空间个数 $=\mathrm{dim} \mathrm{Ker} T=$ 零特征值的几何重数
      2. 循环子空间最大维数 $=$ 幂零次数 $=$ 极小多项式次数
      3. 阶数为 $d$ 的 $\mathrm{Jordan}$ 块个数 $=r(A^{d-1})+r(A^{d+1})-2r(A^d)$

四、矩阵函数

1. 函数矩阵的逆 $=\frac{1}{\det A(x)}\mathrm{adj} A(x)$
2. $m$ 个 $n$ 维函数向量线性无关 $\Leftrightarrow$ $m$ 阶 $\mathrm{Gram}$ 矩阵满秩 $(g_{ij}=\int_a^b a_i^T(x)a_j(x)\mathrm{d}x)$
3. $m$ 个 $n$ 维函数向量线性无关 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{Wronsky}$ 矩阵 $W(x)=\left(A(x),A’(x),\cdots,A^{(m-1)}(x)\right)_{m\times mn}$ 在某点满行秩
4. 矩阵级数绝对收敛 $\Leftrightarrow \sum_{k=1}^{\infty} ||A^k||_{\infty}$ 收敛
5. $f(A)=Pf(J)P^{-1},f(J_{\lambda_0,m})=\mathrm{diag}(f(\lambda_0),f^{\prime}(\lambda_0),\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(\lambda_0),\cdots)$
6. $|\lambda I_n-f(A)|=(\lambda-f(\mu_1))^{n_1}(\lambda-f(\mu_2))^{n_2}\cdots(\lambda-f(\mu_s))^{n_s}$
7. 待定系数法：$r(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}+a_{m-1}z^{m-1},m=\sum m_i,r(\sigma_i)=f(\sigma_i),f(A)=r(A)$
8. $e^{J_{\lambda,m}t}=e^{(\lambda t)I+N}=e^{\lambda t}(I+N+\frac{1}{2!}N^2+\cdots+\frac{1}{(m-1)!}N^{m-1})$
9. $\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}=AX$ 的解：$x(t)=Pe^{Jt}\vec{c}$；$x(0)=\alpha\Rightarrow \vec{c}=P^{-1}\alpha$

五、酉空间

1. 内积：共轭对称性、线性性、正定性
2. $\mathrm{Frobenius}$ 内积：$\mathrm{tr}(AB^H)$
3. 若 $\vec{u_1},\vec{u_2},\cdots,\vec{u_n}$ 标准正交，则 $v=\sum_{i=1}^n (v,\vec{u_i})\vec{u_i}$ （投影向量）
4. $\mathrm{C}^n=C(A)\oplus N(A^H)$
5. $T,T^*$ 在一组标准正交基下的矩阵是 $A,A^H$
6. 若 $W$ 是 $T-$ 不变子空间，则 $W^\perp$ 是 $T^*-$ 不变子空间
7. 若 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，则 $\overline{\lambda}$ 是 $T^*$ 的特征值
8. 保积变换是线性同构（单：$\mathrm{Ker}T=\{0\}$，满：$\mathrm{Im}T=V$）
9. 第一/第二类正交变换：$\det=1$，$\det=-1$
10. 正规变换性质
    1. $T\alpha=\lambda\alpha\Rightarrow T^*\alpha=\overline{\lambda}\alpha$
    2. 在不同特征值下的特征向量正交
    3. 当且仅当可正交对角化
11. 推广 $\mathrm{Schur}$ 定理：酉上三角化（借助 $UR$ 分解）
12. $\mathrm{Hermite}$ 阵的特征值是实数
13. 正规阵的极分解：$A=Re^{iM}$，$R=U\mathrm{diag}(r_1,r_2,\cdots,r_n)U^H$ 为半正定 $\mathrm{Hermite}$ 阵，$M=U\mathrm{diag}(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_n)U^H$ 是 $\mathrm{Hermite}$ 阵，$RM=MR$
14. $A$ 列满秩 $\Rightarrow$ $A^HA$ 是正定 $\mathrm{Hermite}$ 阵；行满秩 $\Rightarrow$ $AA^H$ 是正定 $\mathrm{Hermite}$ 阵

六、双线性型

1. $\mathrm{Riesz}$ 表示定理：内积空间中存在唯一的 $\vec{u}=\sum_{i=1}^n \overline{f(\vec{e_i})}\vec{e_i}\in V$，使得 $f(\vec{v})=(\vec{v},\vec{u}),\forall \vec{v}\in V$，$\vec{e_i}$ 是一组标准正交基
2. 对偶基：$f_i(\vec{e_j})=\delta_{ij}$，称其为 $\vec{e_i}$ 的对偶基
3. 若两组基满足 $\beta=\alpha P$，则其对偶基满足 $\beta^*=\alpha^*P^{-T}$
4. $V$ 与 $V^{\star\star}$ 同构，故 $V$ 与 $V^*$ 互为对偶空间，且 $\beta^{\star\star}=\alpha^{\star\star}P$
5. 对偶线性映射：$\langle f,T(v)\rangle=\langle T^*(f),v\rangle$，若 $T$ 在基 $\alpha$ 下的矩阵是 $A$，则 $T^*$ 在基 $\alpha^*$ 下的矩阵是 $A^T$
6. 双线性型的表示矩阵：$g_{ij}=g(\vec{v_i},\vec{v_j})$，不同基下有 $G^\prime=P^TG P$，在一组基下表示矩阵可逆的双线性型称为非退化双线性型
7. 非退化对称型可化简为相合标准形，非退化反对称型可化简为 $\mathrm{diag}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，故有非退化反对称型的线性空间只能是偶数维
8. 广义内积空间：$(V,g)$，$g$ 为非退化对称型时称为正交空间，$g$ 为非退化反对称型时称为辛空间

七、技巧与例题

1. 常用证明技巧
   1. 存在 $f(A)=B$ 的充要条件是存在 $\mathrm{Jordan}$ 标准形 $J$ 使得 $f(J)$ 的 $\mathrm{Jordan}$ 标准形与 $B$ 的 $\mathrm{Jordan}$ 标准形相同
   2. 循环矩阵可被 $\mathrm{Fourier}$ 矩阵对角化，其特征值为 $\omega^k$ 的线性组合
   3. $AB$ 的特征值和 $BA$ 的特征值相同
   4. 若 $RN=NR,\forall N\in M_n(\mathbb{C})$，则 $R$ 是纯量矩阵（即 $R=cI_n$）
2. 设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\sigma,\tau$ 是 $V$ 的线性变换，且 $\sigma\tau=\tau\sigma$，证明：
   1. 如果 $\lambda_0$ 是 $\sigma$ 的特征值，那么 $\lambda_0$ 的特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 是 $\tau$ 的不变子空间
   2. $\sigma,\tau$ 至少有一个公共的特征向量
3. 设 $A,B$ 分别是 $m,n$ 阶矩阵，求证：矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解的充要条件是 $A,B$ 无公共特征值
4. 设 $V$ 是 $n$ 维内积空间，$T$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$ImT^*=(KerT)^\perp$
5. 设 $A,B$ 是 $m\times n$ 实矩阵，求证：$A^TA=B^TB$ 的充要条件是存在 $m$ 阶正交矩阵 $Q$，使得 $A=QB$
6. 设 $Q$ 为 $n$ 阶正交矩阵，$1$ 不是 $Q$ 的特征值，设 $P=I-2\alpha\alpha^T$，其中 $\alpha$ 是 $n$ 维实列向量且 $\alpha^T\alpha=1$，证明：$1$ 是 $PQ$ 的特征值
7. 设 $A,B$ 为正规矩阵，且 $AB=BA$，证明：存在酉阵 $U$ 使得 $U^{-1}AU$ 和 $U^{-1}BU$ 同时为对角阵
8. 设 $T$ 是 $n$ 维酉空间 $V$ 上的线性变换，求证：$T$ 是正规变换的充要条件是对 $V$ 中任意的向量 $\alpha$，都有 $||T\alpha||=||T^*\alpha||$
9. 证明：$n$ 阶 $\mathrm{Hermite}$ 阵正定的充要条件是它的 $n$ 个顺序主子式全大于零
10. 设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathrm{Euclid}$ 空间，$T:V\to V$ 是可逆线性变换，证明：
    1. $T$ 是 $V$ 上的一个全等变换（保角、保长度）当且仅当 $T$ 是 $V$ 的正交变换
    2. $T$ 是 $V$ 的一个相似变换（保角）当且仅当 $\exists c\gt 0,\forall \vec{\alpha},\vec{\beta}\in V$，有 $(T(\vec{\alpha}),T(\vec{\beta}))=c(\vec{\alpha},\vec{\beta})$
    3. $T$ 是 $V$ 的一个相似变换当且仅当 $T=cT_0$，其中 $c\gt 0$，$T_0$ 是一个正交变换
11. 设 $V=M_n(\mathbb{R})$，对于任意 $A,B\in V$，定义：$(A,B)=\mathrm{tr}(AB^T)$，设 $P,Q$ 是 $V$ 中可逆矩阵，令 $T:V\to V$ 满足 $T(M)=PMQ$，对于任意 $M\in V$，证明：$T$ 是一个正交变换 $\Leftrightarrow \exists c\neq 0,P^TP=cI_n,Q^TQ=\frac{1}{c}I_n$
12. 设 $A,B$ 是实方阵，证明 $A,B$ 在 $\mathbb{C}$ 上相似当且仅当 $A,B$ 在 $\mathbb{R}$ 上相似
13. 设 $T$ 是复 $n$ 维空间 $V$ 上的线性变换，$T$ 在 $V$ 的一组基下矩阵是 $A=\begin{bmatrix}0^T & -a_0\\I_{n-1} & \vec{\alpha}\end{bmatrix}$，其中 $\alpha=(-a_1,-a_2,\cdots,-a_{n-1})^T$。
    1. 求 $T$ 的特征多项式 $f_T(\lambda)$ 和极小多项式 $m_T(\lambda)$
    2. $T$ 是否可对角化？
14. 设 $A,B\in M_n(\mathbb{C})$，且 $\mathrm{rank}(AB-BA)=1$，证明：$(AB-BA)^2=0_{n\times n}$