自学(4)：图形学与生成模型

大二下学期的自学笔记，由图形学、体系结构、随机过程和生成模型组成。

一、GAMES 101

1. 变换

  1. $\vec{a}\times \vec{b}=A*\vec{b}=\begin{bmatrix}0 & -a_z & a_y\\a_z & 0 & -a_x\\-a_y & a_x & 0\end{bmatrix}\vec{b}$，用于判断左右、内外
  2. 仿射坐标：点 $(x,y,z,1)$，向量 $(x,y,z,0)$
  3. 交比：直线上四点 $A,B,C,D$，$(A,B;C,D)=\frac{\vec{AC}/\vec{CB}}{\vec{AD}/\vec{DB}}$，射影变换前后保持不变
  4. 欧拉角：绕 $x,y,z$ 轴旋转 $\alpha,\beta,\gamma$ 角，$R=R_z(\gamma)R_y(\beta)R_x(\alpha)$
  5. 绕 $\vec{n}$ 轴旋转 $\alpha$ 角：$R(\vec{n},\alpha)=\cos\alpha I+(1-\cos\alpha)\vec{n}\vec{n}^T+\sin\alpha \begin{bmatrix}0 & -n_z & n_y\\n_z & 0 & -n_x\\-n_y & n_x & 0\end{bmatrix}$
  6. 视角变换：把摄像机移动到原点，$y$ 轴向上，看向 $-z$
  7. 正交投影：把长方体变换到 $[-1,1]^3$
  8. 透视投影：把视锥压缩成长方体再正交投影，前平面不变，后平面压缩且中心点不变

2. 几何

  1. 隐式表示：$f(x,y,z)=0$、几何体加减、距离函数（可用于插值）、水平集
  2. 显示表示：$(u,v)\to (x,y,z)$、点云、多边形网格
  3. 贝塞尔曲线：三阶 $b_0^3(t)=(1-t)^3 b_0+3(1-t)^2tb_1+3(1-t)t^2b_2+t^3b_3$，为保证 $\mathbb{C}^1$ 连续需连接点处平分控制点
  4. 贝塞尔曲面：16 个控制点，先沿 $u$ 求四条曲线，再对每个 $v$ 以四条曲线为控制点
  5. 曲面细分：Loop 细分（三角形加三个中点，一拆四）、Catmull-Clark 细分（加边中点、面中心）
  6. 曲面简化：边收缩，使用二次度量误差建优先队列，贪心收缩

3. 摄影

  1. 视场：传感器大小、焦距，等效焦距为 35mm 传感器时
  2. 曝光：光圈直径、快门时间、ISO 倍数
  3. 景深：对焦距离附近的清晰区间，焦距越长、光圈越大、对焦距离越近景深越浅
  4. 光场：前后平面共四维，同物体不同角度、同角度不同物体
  5. 光场相机：微透镜阵列，每一角度对应普通相机一张图，可后期调整焦距、光圈等
  6. 颜色：光谱与视锥细胞响应函数乘积，有同色异谱
  7. 加色系统：sRGB（用三纯色调出纯频率，再调出光谱）、XYZ（人为定义，Y 代表亮度）、HSV（色调、饱和度、明度）、Lab（亮度、绿红轴、蓝黄轴，互补色原理）
  8. 色彩空间：XYZ，固定 Y，$(x,y,z)=\frac{(X,Y,Z)}{X+Y+Z}$，$sRGB$ 为三角形
  9. 减色系统：CMYK（品红黄青黑，印刷用）

4. 光栅化

  1. 三角形：判断像素中心是否在内部，可用先模糊或多重采样（MSAA）反走样
  2. 反走样原理：采样等于时域上乘积等于频域上卷积（重复），高低频信号混叠，模糊等于低通滤波
  3. 深度缓冲：逐像素记录最近深度
  4. 着色模型：Blinn-Phong，环境光常数、漫反射（系数、平方反比、余弦）、高光（系数、平方反比、半程向量余弦幂）
  5. 着色频率：逐平面、平面内插值顶点着色、平面内插值顶点法线
  6. 插值方法：重心坐标（用三顶点坐标表示平面内点）、双线性（先 u 再 v，解决纹理过小）、Mipmap（预先计算指数级不同分辨率纹理，解决纹理过大），各向异性过滤（存长方形纹理）
  7. 渲染管线：几何 $\to$ 纹理 $\to$ 着色 $\to$ 变换 $\to$ 光栅化
  8. 高级纹理：环境光贴图、法线贴图、位移贴图
  9. 阴影贴图：从光源视角渲染深度图，像素在深度图中对应位置深度小于等于该值则有光照

5. 光线追踪

  1. 传统方法：从视角发射光线，每次与场景相交时计算着色和反射折射，着色递归相加
  2. 求交：$f(\vec{o}+t\vec{d})=0$，三角形先计算平面交点再判断内外或直接套公式
  3. 加速结构：轴对齐包围盒、均匀网格、空间切分（KD 树、层次包围体）
  4. 辐射度量学：立体角（单位球上的面积）、Irradiance（单位面积上接收的功率）、Radiance（单位面积单位立体角上接收的功率）
  5. 渲染方程：$L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+} f_r(p,\omega_i,\omega_o)L_i(p,\omega_i)(\vec{n}\cdot \omega_i)\mathrm{d}\omega_i$
  6. 蒙特卡洛积分：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^N f(x_i)$
  7. 路径追踪：对不遮挡光源换元到光源上积分，对物体只取一根光线递归（以概率继续）
  8. 改进：双向路径追踪、Markov 链采样、次表面散射（不在原地出射）
  9. 微表面材质：法线分布函数、菲涅尔项（反射率，与入射角正相关）、微遮挡项

6. 动画

  1. 基本方法：关键帧插值、物理模拟（质量弹簧、有限元、质点系统、逆运动学）、动捕
  2. 质量弹簧系统：弹力、阻尼（相对速度在连线上的投影），可模拟布料（对角网格加跳连）
  3. ODE 求解：欧拉法 $x^{t+\delta t}=x^t+\dot{x}^t\delta t$，中点法 $x^{t+\delta t}=x^t+\dot{x}_{\mathrm{mid}}\delta t$，隐式欧拉法 $x^{t+\delta t}=x^t+\dot{x}^{t+\delta t}\delta t$（逆向优化求解），四阶 Runge-Kutta 法
  4. 流体模拟：质点位置基方法，分质点法（拉格朗日）、格点法（欧拉）、物质点法（混合）

二、CSAPP 后半部分

1. 链接

  1. 编译过程：.c $\to$ 预处理 $\to$ .i $\to$ 编译 $\to$ .s $\to$ 汇编 $\to$ .o $\to$ 链接 $\to$ .exe
  2. 可重定位目标文件 .o：代码 .text，数据 .rodata/.data/.bss（只读/已初始化/未初始化），符号表 .symtab，重定位表 .rel.text/.rel.data
  3. 库：静态库 .a（多个 .o 文件打包，链接时提取需要的 .o 文件）、动态库 .so/.dll（链接时记录库名和符号表，运行时加载）
  4. 链接过程：符号解析确定所需 .o 再合并，重定位引用地址

2. 异常控制流

  1. 异常：中断（异步 I/O）、陷阱（系统调用）、故障（可恢复错误）、终止（不可恢复错误）
  2. 进程：虚拟内存空间（代码、数据、栈）、寄存器、文件描述符表
  3. 信号：类似异常，接收后内核将控制流转移到信号处理程序再返回

3. 虚拟内存

  1. 正常流程：MMU 接收虚拟地址向内存中页表请求查询物理页号，再将物理页号和虚拟页偏移量组合成物理地址向内存请求访问
  2. 缺页：MMU 发现物理页号首位无效（地址指向初始磁盘位置），触发缺页异常将磁盘复制到内存，更新页表后重试访问
  3. 加速：TLB 页表缓存、多级页表、和高速缓存联用

4. 系统级 I/O

  1. 共享文件：描述符表进程独立，打开文件表和 v-node 表进程共享
  2. 打开同一文件两次：描述符表中两条，指向打开文件表中不同条，指向同一 v-node 表条
  3. 父子进程：复制描述符表，对应条指向同一打开文件表条，指向同一 v-node 表条
  4. 重定向：将描述符表条重新指向其他打开文件表条（可用于 stdin/out/err）

5. 网络编程

  1. 端口：客户端由内核自动分配临时端口，服务器为固定端口，服务器内核监听到端口请求后将控制流转移到对应程序
  2. URL：通用资源定位符，用于静态内容在服务器磁盘上查找
  3. CGI ：通用网关接口，用于动态内容传递运行参数，用？分隔文件名和参数，用&分隔参数

6. 并发编程

  1. 并发方式：进程式（遇请求后 fork）、事件式（遇请求后转移控制流）、多线程
  2. 线程：栈（同一虚拟内存空间的不同区间）、寄存器，共享虚拟内存空间、文件描述符
  3. 信号量：P（减一，阻塞直到非负）、V（加一，唤醒一个等待线程），用于互斥锁
  4. 死锁：等待永远不为真的条件，如 PV 顺序不一致导致的禁止区域左下角

三、随机过程

1. 离散时间 Markov 链

  1. 停时：事件发生与否仅和历史状态有关
  2. 周期：所有 $p^n(x,x)>0$ 的 $n$ 的最大公约数，1 为非周期
  3. 正常返：$P_x(T_x<\infty)=1,E_x(T_x)<\infty$，否则为零常返
  4. 平稳分布：$\pi_y=\frac{1}{E_y(T_y)}$，需要存在正常返状态（无限不一定）
  5. 细致平衡：$\pi_x p(x,y) = \pi_y p(y,x)$（两两平衡，强于平稳分布）
  6. 循环把戏：$\mu_x(y)=\sum_{n=0}^\infty P_x(X_n=y,T_x>n)$ 为平稳测度
  7. 双吸收态概率：$h(a)=1,h(b)=0,h(x)=\sum_y p(x,y)h(y)=P_x(T_a<T_b)$
  8. 吸收时间：$E_x(T_A)=1+\sum_{y\notin A} p(x,y)E_y(T_A)$

2. 鞅与生灭过程

3. 连续时间 Markov 链

4. 随机分析

四、微分几何

五、博弈论

  1. 自身的策略要最大化对方的策略可能带来的最小收益
  2. 鞍点：每个参与者的策略在给定其他参与者策略的情况下都是最优的（纯策略纳什均衡）
  3. 混合策略：最大化对方选择每一个纯策略所带来的最小期望收益
  4. 最大最小值定理：零和博弈两个混合策略线性规划互为对偶，最优值相等（对偶定理）
  5. 非常和博弈：纳什均衡存在定理（纯策略或混合策略），但不一定是帕累托最优

六、生成模型

笔记
#计算机 #自学
自学(4)：图形学与生成模型
https://sqzr2319.github.io/CSDIY/CSDIY-4/
作者
sqzr2319
发布于
2026年2月16日
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