大二下学期自学笔记

大二下学期的自学笔记，由图形学、随机过程、微分几何、博弈论组成。

一、GAMES 101

1. 变换

1. $\vec{a}\times \vec{b}=A*\vec{b}=\begin{bmatrix}0 & -a_z & a_y\\a_z & 0 & -a_x\\-a_y & a_x & 0\end{bmatrix}\vec{b}$，用于判断左右、内外
2. 仿射坐标：点 $(x,y,z,1)$，向量 $(x,y,z,0)$
3. 交比：直线上四点 $A,B,C,D$，$(A,B;C,D)=\frac{\vec{AC}/\vec{CB}}{\vec{AD}/\vec{DB}}$，射影变换前后保持不变
4. 欧拉角：绕 $x,y,z$ 轴旋转 $\alpha,\beta,\gamma$ 角，$R=R_z(\gamma)R_y(\beta)R_x(\alpha)$
5. 绕 $\vec{n}$ 轴旋转 $\alpha$ 角：$R(\vec{n},\alpha)=\cos\alpha I+(1-\cos\alpha)\vec{n}\vec{n}^T+\sin\alpha \begin{bmatrix}0 & -n_z & n_y\\n_z & 0 & -n_x\\-n_y & n_x & 0\end{bmatrix}$
6. 视角变换：把摄像机移动到原点，$y$ 轴向上，看向 $-z$
7. 正交投影：把长方体变换到 $[-1,1]^3$
8. 透视投影：把视锥压缩成长方体再正交投影，前平面不变，后平面压缩且中心点不变

2. 几何

1. 隐式表示：$f(x,y,z)=0$、几何体加减、距离函数（可用于插值）、水平集
2. 显示表示：$(u,v)\to (x,y,z)$、点云、多边形网格
3. 贝塞尔曲线：三阶 $b_0^3(t)=(1-t)^3 b_0+3(1-t)^2tb_1+3(1-t)t^2b_2+t^3b_3$，为保证 $\mathbb{C}^1$ 连续需连接点处平分控制点
4. 贝塞尔曲面：16 个控制点，先沿 $u$ 求四条曲线，再对每个 $v$ 以四条曲线为控制点
5. 曲面细分：Loop 细分（三角形加三个中点，一拆四）、Catmull-Clark 细分（加边中点、面中心）
6. 曲面简化：边收缩，使用二次度量误差建优先队列，贪心收缩

3. 摄影

1. 视场：传感器大小、焦距，等效焦距为 35mm 传感器时
2. 曝光：光圈直径、快门时间、ISO 倍数
3. 景深：对焦距离附近的清晰区间，焦距越长、光圈越大、对焦距离越近景深越浅
4. 光场：前后平面共四维，同物体不同角度、同角度不同物体
5. 光场相机：微透镜阵列，每一角度对应普通相机一张图，可后期调整焦距、光圈等
6. 颜色：光谱与视锥细胞响应函数乘积，有同色异谱
7. 加色系统：sRGB（用三纯色调出纯频率，再调出光谱）、XYZ（人为定义，Y 代表亮度）、HSV（色调、饱和度、明度）、Lab（亮度、绿红轴、蓝黄轴，互补色原理）
8. 色彩空间：XYZ，固定 Y，$(x,y,z)=\frac{(X,Y,Z)}{X+Y+Z}$，$sRGB$ 为三角形
9. 减色系统：CMYK（品红黄青黑，印刷用）

4. 光栅化

1. 三角形：判断像素中心是否在内部，可用先模糊或多重采样（MSAA）反走样
2. 反走样原理：采样等于时域上乘积等于频域上卷积（重复），高低频信号混叠，模糊等于低通滤波
3. 深度缓冲：逐像素记录最近深度
4. 着色模型：Blinn-Phong，环境光常数、漫反射（系数、平方反比、余弦）、高光（系数、平方反比、半程向量余弦幂）
5. 着色频率：逐平面、平面内插值顶点着色、平面内插值顶点法线
6. 插值方法：重心坐标（用三顶点坐标表示平面内点）、双线性（先 u 再 v，解决纹理过小）、Mipmap（预先计算指数级不同分辨率纹理，解决纹理过大），各向异性过滤（存长方形纹理）
7. 渲染管线：几何 $\to$ 纹理 $\to$ 着色 $\to$ 变换 $\to$ 光栅化
8. 高级纹理：环境光贴图、法线贴图、位移贴图
9. 阴影贴图：从光源视角渲染深度图，像素在深度图中对应位置深度小于等于该值则有光照

5. 光线追踪

1. 传统方法：从视角发射光线，每次与场景相交时计算着色和反射折射，着色递归相加
2. 求交：$f(\vec{o}+t\vec{d})=0$，三角形先计算平面交点再判断内外或直接套公式
3. 加速结构：轴对齐包围盒、均匀网格、空间切分（KD 树、层次包围体）
4. 辐射度量学：立体角（单位球上的面积）、Irradiance（单位面积上接收的功率）、Radiance（单位面积单位立体角上接收的功率）
5. 渲染方程：$L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+} f_r(p,\omega_i,\omega_o)L_i(p,\omega_i)(\vec{n}\cdot \omega_i)\mathrm{d}\omega_i$
6. 蒙特卡洛积分：$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\approx \frac{b-a}{N}\sum_{i=1}^N f(x_i)$
7. 路径追踪：对不遮挡光源换元到光源上积分，对物体只取一根光线递归（以概率继续）
8. 改进：双向路径追踪、Markov 链采样、次表面散射（不在原地出射）
9. 微表面材质：法线分布函数、菲涅尔项（反射率，与入射角正相关）、微遮挡项

6. 动画

1. 基本方法：关键帧插值、物理模拟（质量弹簧、有限元、质点系统、逆运动学）、动捕
2. 质量弹簧系统：弹力、阻尼（相对速度在连线上的投影），可模拟布料（对角网格加跳连）
3. 流体模拟：质点位置基方法，分质点法（拉格朗日）、格点法（欧拉）、物质点法（混合）

二、随机过程

1. 离散时间 Markov 链

1. 停时：事件发生与否仅和历史状态有关
2. 周期：所有 $p^n(x,x)>0$ 的 $n$ 的最大公约数，1 为非周期
3. 正常返：$P_x(T_x<\infty)=1,\mathbb{E}_x(T_x)<\infty$，否则为零常返
4. 平稳分布：$\pi_y=\frac{1}{\mathbb{E}_y(T_y)}$，需要存在正常返状态（无限不一定）
5. 细致平衡：$\pi_x p(x,y) = \pi_y p(y,x)$（两两平衡，强于平稳分布）
6. 循环把戏：$\mu_x(y)=\sum_{n=0}^\infty P_x(X_n=y,T_x>n)$ 为平稳测度
7. 双吸收态概率：$h(a)=1,h(b)=0,h(x)=\sum_y p(x,y)h(y)=P_x(T_a<T_b)$
8. 吸收时间：$\mathbb{E_x}(T_A)=1+\sum_{y\notin A} p(x,y)\mathbb{E_y}(T_A)$

2. 连续时间 Markov 链

1. 定义：$\forall 0\le s_0\lt \cdots\lt s_n\lt s,\forall i_0,\cdots,i_n,i,j,P(X_{t+s}=j|X_{s_0}=i_0,\cdots,X_{s_n}=i_n,X_s=i)=P(X_{t}=j|X_0=i)$
2. 转移概率：$p_t(i,j)=P(X_t=j|X_0=i)$
3. 转移速率：$q(i,j)=\lim_{t\to 0}\frac{p_t(i,j)}{t}$
4. 转移速率矩阵：$Q(i,j)=\begin{cases}q(i,j) & i\neq j\\-\sum_{k\neq i} q(i,k) & i=j\end{cases}$
5. Kolmogorov 方程：$p^\prime_t=Qp_t=p_tQ,p_t=e^{Qt}$
6. 不可约：任意两状态可达，即 $\exists k_0=i,k_1,\cdots,k_n=j$ 使 $q(k_{l-1},k_l)>0$
7. 平稳分布：$\forall t\geq 0,\pi p_t=\pi$，当且仅当 $\pi Q=0,\pi(j)=\lim_{t\to\infty} p_t(i,j)$
8. 细致平衡：$\forall j\neq k,\pi(k)q(k,j)=\pi(j)q(j,k)$，强于平稳分布
9. 嵌入链：记录原连续时间链跳转状态的离散时间链，每个状态停留一单位时间，转移概率为 $r(i,j)=\frac{q(i,j)}{\lambda_i},\lambda_i=\sum_{j\neq i} q(i,j)$
10. 离出分布：令 $V_A=\min{t:X_t\in A}$，$h(i)=P_i(X_{V_A}=a)$，则 $h(a)=1,h(b)=0,b\in A-{a},h(i)=\sum_j r(i,j)h(j)$
11. 首达时刻：停留时间加转移，$\mathbb{E_i}V_A=\frac{1}{\lambda_i}+\sum_{j} r(i,j)\mathbb{E_j}V_A$

3. 鞅

1. Poisson 过程：事件发生间隔为指数分布
2. 更新过程：Poisson 过程的推广，事件发生间隔为独立同分布的随机变量
3. 鞅：$\mathbb{E}[M_{n+1}|X_0,\cdots,X_n]=M_n$，上鞅 $\leq$
4. 判定定理：$f(x,n)=\sum_y p(x,y)f(y,n+1)$，则 $f(X_n)$ 是鞅
5. $M_{T\wedge n}=\begin{cases}M_n & n\leq T\\M_T & n>T\end{cases}$，$T$ 有界或 $\mathbb{E}[T]<\infty, M_n$ 有界则 $\mathbb{E}[M_{T\wedge n}]=\mathbb{E}[M_0]$
6. 连续时间：$\forall 0\leq s\leq t,\mathbb{E}[M_t|\mathcal{F}_s]=M_s$，其中 $\mathcal{F}_s$ 是 $s$ 时刻之前不可数多个事件的集合
7. 半鞅：$X_t=M_t+A_t$，$M_t$ 为鞅，$A_t$ 为有限变差过程，即一阶变差 $\sum_{i=1}^n |A_{t_i}-A_{t_{i-1}}|$ 对所有分割有界，可定义 Stieltjes 积分 $\int_0^t f(s)\mathrm{d}A_s$，Brown 运动为无穷
8. 二次变差：$\langle M,M\rangle_t=\lim_{|\pi|\to 0} \sum_{i=1}^n (M_{t_i}-M_{t_{i-1}})^2=\int_0^t \mathrm{d}M\mathrm{d}M,\langle M,N\rangle_t=\frac{1}{2}(\langle M+N,M+N\rangle_t-\langle M,M\rangle_t-\langle N,N\rangle_t)$，对有限变差过程为零，$\langle B,B\rangle_t=t,\langle B,t\rangle_t=\langle t,t\rangle_t=\langle B_1,B_2\rangle_t=0$

4. 随机积分

1. Itô 积分：$\int_0^t H_s\mathrm{d}M_s=\lim_{|\pi|\to 0} \sum_{i=1}^n H_{t_{i-1}}(M_{t_i}-M_{t_{i-1}})$ 是鞅
2. Doob-Meyer 分解：$M^2_t-\langle M,M\rangle_t$ 是鞅，代入 Itô 积分得 Itô 等距公式：$\mathbb{E}[(\int_0^t H_s\mathrm{d}M_s)^2]=\mathbb{E}[\langle \int_0^t H_s\mathrm{d}M_s,\int_0^t H_s\mathrm{d}M_s\rangle_t]=\mathbb{E}[\int_0^t H_s^2\mathrm{d}\langle M,M\rangle_s]$
3. Itô 过程：$\mathrm{d}X_t=\mu(t)\mathrm{d}t+\sigma(t)\mathrm{d}B_t$
4. Itô 公式：$\mathrm{d}f(t,X_t)=f_t(t,X_t)\mathrm{d}t+f_x(t,X_t)\mathrm{d}X_t+\frac{1}{2}f_{xx}(t,X_t)\mathrm{d}\langle X,X\rangle_t$
5. Lévy 定理：Brown 运动为二次变差正好等于时间的连续鞅
6. Dambis–Dubins–Schwarz 定理：任意连续鞅都可看作变速 Brown 运动
7. Girsanov 定理：改变路径权重可在无漂移 Brown 运动和有漂移 Brown 运动之间切换
8. 鞅表示定理：若 $\mathbb{E}[M_t|\mathcal{F}_s]=M_s,\mathcal{F}_s$ 是 Brown 运动生成的 $\sigma$-代数，则 $\exists H_t$ 使 $M_t=M_0+\int_0^t H_s\mathrm{d}B_s$

5. 随机微分方程

1. 定义：$\mathrm{d}X_t=b(t,X_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)\mathrm{d}B_t$，有 Euler-Maruyama 方法数值解 $X_{t+\delta t}=X_t+b(t,X_t)\delta t+\sigma(t,X_t)\sqrt{\delta t}Z$，$Z\sim N(0,1)$
2. 生成元：$\mathcal{L_t}f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbb{E}[f(X_{t+h})|X_t=x]-f(x)}{h}=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}t}$，对 SDE 由 Itô 公式有 $\mathcal{L_t}f(x)=b(t,x)f_x(t,x)+\frac{1}{2}\sigma^2(t,x)f_{xx}(t,x)$
3. 伴随算子：$\langle \mathcal{L_t}f,p\rangle=\langle f,\mathcal{L_t}^\star p\rangle$，对 SDE 有 Fokker-Planck 前向方程 $\mathcal{L_t}^\star p=\frac{\partial p(t,x)}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}(b(t,x)p(t,x))+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(\sigma^2(t,x)p(t,x))$
4. Feynman-Kac 后向方程：$v(t,x)=\mathbb{E}[g(X_T)|X_t=x]$，则 $\frac{\partial v(t,x)}{\partial t}+\mathcal{L_t}v(t,x)=0$，边界条件 $v(T,x)=g(x)$

三、微分几何

1. 张量

1. 三阶张量切片：$\mathcal{A}\in \mathbb{R}^{I\times J\times K},\mathbf{A_{i::}}\in \mathbb{R}^{J\times K},\mathbf{A_{:j:}}\in \mathbb{R}^{K\times I},\mathbf{A_{::k}}\in \mathbb{R}^{I\times J}$
2. 三阶张量的 Kiers 水平展开：$\mathcal{A}\in\mathbb{R}^{I\times J\times K},\mathbf{A}^{(I\times JK)}=\mathbf{A_{(1)}}=[\mathbf{A_{::1}},\cdots,\mathbf{A_{::K}}]$
3. 三阶张量的向量化：$\mathcal{A}\in \mathbb{R}^{I\times J\times K},\text{vec}(\mathcal{A})=(\text{vec}(\mathbf{A_{::1}})^T,\cdots,\text{vec}(\mathbf{A_{::K}})^T)^T\in \mathbb{R}^{IJK}$，其中 $\mathbf{A_{::k}}\in \mathbb{R}^{I\times J},\text{vec}(\mathbf{A_{::k}})=(a_{11k},\cdots,a_{I1k},a_{12k},\cdots,a_{IJk})^T$
4. 张量内积：$\langle \mathcal{A},\mathcal{B}\rangle=\langle \text{vec}(\mathcal{A}),\text{vec}(\mathcal{B})\rangle$
5. 张量的 Frobenius 范数：$||\mathcal{A}||_F=\sqrt{\langle \mathcal{A},\mathcal{A}\rangle}$
6. 多向量外积：$\mathbf{a}^{(i)}\in\mathbb R^{I_i},\mathcal{A}=\mathbf{a}^{(1)}\circ\cdots \circ \mathbf{a}^{(N)}\in \mathbb{R}^{I_1\times \cdots\times I_N},a_{i_1i_2\cdots i_N}=a_{i_1}^{(1)}\cdots a_{i_N}^{(N)}$ 为秩-1 张量
7. 张量外积：$\mathcal{A}\in \mathbb{R}^{I_1\times \cdots \times I_N},\mathcal{B}\in \mathbb{R}^{J_1\times \cdots \times J_M},\mathcal{A}\circ\mathcal{B}\in \mathbb{R}^{I_1\times \cdots \times I_N\times J_1\times \cdots \times J_M},(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})_{i_1\cdots i_Nj_1\cdots j_M}=a_{i_1\cdots i_N}b_{j_1\cdots j_M}$
8. Hadmard 积：$\mathbf{A},\mathbf{B}\in \mathbb{R}^{m\times n},\mathbf{A}\star \mathbf{B}=(a_{ij}b_{ij})_{m\times n}$
9. Kronecker 积：$\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{m\times n},\mathbf{B}\in \mathbb{R}^{p\times q},\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}=\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf{B} & \cdots & a_{1n}\mathbf{B}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}\mathbf{B} & \cdots & a_{mn}\mathbf{B}\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{mp\times nq}$
10. Khatri-Rao 积：$\mathbf{F}\in \mathbb{R}^{p\times n},\mathbf{G}\in \mathbb{R}^{q\times n},\mathbf{F}\odot \mathbf{G}=[\mathbf{f}_1\otimes \mathbf{g}_1,\cdots,\mathbf{f}_n\otimes \mathbf{g}_n]\in \mathbb{R}^{pq\times n}$，其中 $\mathbf{f}_i$ 和 $\mathbf{g}_i$ 是 $\mathbf{F}$ 和 $\mathbf{G}$ 的第 $i$ 列（对应列 Kronecker 积）
11. 模式-n 矩阵积：$\mathcal{X}\in \mathbb{R}^{I_1\times \cdots \times I_N},\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{J\times I_n},\mathcal{X}\times_n \mathbf{A}\in \mathbb{R}^{I_1\times \cdots \times I_{n-1}\times J\times I_{n+1}\times \cdots \times I_N},(\mathcal{X}\times_n \mathbf{A})_{i_1\cdots i_{n-1}ji_{n+1}\cdots i_N}=\sum_{i_n=1}^{I_n} x_{i_1\cdots i_N}a_{ji_n}$，$n=3$ 为 Tucker 积
12. 模式-n 秩：$\mathcal{A}\in \mathbb{R}^{I_1\times \cdots \times I_N}$ 的 $I_1\cdots I_{n-1}I_{n+1}\cdots I_N$ 个 $I_n$ 维模式-n 向量的秩，记为 $r_n=\text{rank}_n(\mathcal{A})$
13. 张量的秩：$\mathcal{A}=\sum_{r=1}^R \sigma_i \mathcal{U}_i$，$\mathcal{U}_i$ 是秩-1 张量，截断即为 CP 分解（N 阶主成分分析）
14. Tucker 分解（N 阶奇异值分解）：$\mathcal{A}\in \mathbb{R}^{I_1\times \cdots \times I_N},\mathcal{A}=\mathcal{G}\times_1 \mathbf{U}^{(1)}\times\cdots \times_N \mathbf{U}^{(N)}$，其中 $\mathbf{U}^{(n)}\in \mathbb{R}^{I_n\times J_n}$ 是半正交矩阵，核心张量 $\mathcal{G}\in \mathbb{R}^{J_1\times J_N},J_n\leq I_n$ 满足子张量 $\langle\mathcal{G_{j_n=\alpha}},\mathcal{G_{j_n=\beta}}\rangle=0,||\mathcal{G_{j_n=1}}||_{\mathrm{F}}\geq \cdots\geq||\mathcal{G_{j_n=J_n}}||_{\mathrm{F}}$

2. 多线性代数

1. $\mathbb{R}^{n_1},\cdots,\mathbb{R}^{n_k}$ 到 $V$ 的多线性映射可分解为先做 Kronecker 张量积 $\mathbf{a}_1\otimes \cdots \otimes \mathbf{a}_k$ 再做线性映射
2. $n\times m$ 矩阵 $\Leftrightarrow$ 线性映射 $\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n\Leftrightarrow$ 线性映射 $(\mathbb{R}^n)^\star\to (\mathbb{R}^m)^\star\Leftrightarrow$ 双线性映射 $\mathbb{R}^m\times (\mathbb{R}^n)^\star\to \mathbb{R}$
3. 张量积空间 $V\otimes W$：双线性映射 $V^\star\times W^\star\to \mathbb{R}\Leftrightarrow$ 线性映射 $V^\star\to W\Leftrightarrow$ 线性映射 $W^\star\to V,v\times w\in V\otimes W$ 将 $\beta\in W^\star$ 映为 $\beta(w)v\in V$，将 $\alpha\in V^\star$ 映为 $\alpha(v)w\in W$，将 $(\alpha,\beta)$ 映为 $\alpha(v)\beta(w)\in \mathbb{R}$
4. 多线性映射空间 $\mathcal{M}(V_1,\cdots,V_k;W)$ 与张量积空间 $V_1^\star\otimes\cdots\otimes V_k^\star\otimes W$ 同构
5. $V$ 上的 $(a,b)$-张量：$V^{\otimes a}\otimes (V^\star)^{\otimes b}$ 的元素，如三维叉乘 $\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3\Leftrightarrow (\mathbb{R}^3)^\star\otimes (\mathbb{R}^3)^\star\otimes \mathbb{R}^3$ 为 $\mathbb{R}^3$ 上的 $(1,2)$-张量
6. Einstein 求和约定：用上/下标表示向量/对偶向量坐标，向量/对偶向量编号用下/上标，$\alpha_iv^i$ 隐含对 $i$ 求和

3. 古典微分几何

1. 曲线坐标：切线（方向变化快慢为曲率）、法线（切向量导数）、副法线（叉乘，方向变化快慢为挠率）
2. 曲面第一基本形式：$I=E\mathrm{d}u^2+2F\mathrm{d}u\mathrm{d}v+G\mathrm{d}v^2,E=\vec{r_u}\cdot \vec{r_u},F=\vec{r_u}\cdot \vec{r_v},G=\vec{r_v}\cdot \vec{r_v}$，切向量 $\vec{r_u},\vec{r}_v$，法向量 $\vec{n}$
3. 曲面第二基本形式：$II=L\mathrm{d}u^2+2M\mathrm{d}u\mathrm{d}v+N\mathrm{d}v^2,L=\vec{n}\cdot \vec{r_{uu}},M=\vec{n}\cdot \vec{r_{uv}},N=\vec{n}\cdot \vec{r_{vv}}$，$r_uv$ 为二阶导数
4. 曲率：法曲率（沿切平面中某方向截曲面得平面曲线的曲率）$\kappa_n=\frac{II}{I}$，主曲率（法曲率最大最小值）$\kappa_1,\kappa_2$，平均曲率 $H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$，高斯曲率 $K=\kappa_1\kappa_2$ 与曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中的嵌入无关

4. 微分流形

1. 切向量：存在可微曲线 $\gamma:[0,1]\to X\subset \mathbb{R}^n$ 满足 $\gamma(0)=p\in X,\gamma^\prime(0)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{t}=v$
2. 切空间：$\forall p\in X\subset \mathbb{R}^n$，所有可能的切向量构成一个 $k$ 维子空间 $T_pX$，称 $X$ 为一个可微 $k$-set
3. 可微映射：$f:X\to Y$，若在 $p\in X$ 处存在线性映射 $L:T_pX\to T_{f(p)}Y$，使得对 $X$ 上任一满足 $\gamma(0)=p,\gamma^\prime(0)=v$ 的曲线有 $f_\star(\gamma)(t)$ 在 $t=0$ 处的导数为 $Lv$，记 $L:f_\star|_p$
4. 余切向量：$f:X\to\mathbb{R}$ 诱导出 $f_\star|_p:T_pX\to T_{f(p)}\mathbb{R}=\mathbb{R}$，记 $f_\star|_p=\mathrm{d}f|_p$，方向导数 $df|_p(v)$
5. 微分形式：$\omega=\omega_{i_1,\cdots,i_k}\mathrm{d}x^{i_1,\cdots,i_k},\mathrm{d}x^{i_1,\cdots,i_k}=e^{i_1}\wedge\cdots\wedge e^{i_k}=\sum_{\sigma\in S_k}\text{sgn}(\sigma)e^{i_{\sigma(1)}}\otimes\cdots\otimes e^{i_{\sigma(k)}}$ 为交替的 $(0,k)$-张量
6. 欧氏空间中微分形式的积分：
   1. 第二类曲线积分：$\mathbb{R}^1,\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$ 中的 1-形式，$\int_\gamma \omega(\gamma^\prime(t)\mathrm{d}t)$
   2. 第二类曲面积分：$\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$ 中的 2-形式，$\int_S \omega(\frac{\partial r}{\partial u}\mathrm{d}u,\frac{\partial r}{\partial v}\mathrm{d}v)$
   3. 第一类曲线积分：$\mathbb{R}^1,\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$ 中 1-形式诱导出的 $\mathrm{d}l=\sqrt{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2}$，$\mathbb{R}^1$ 中等价于第二类（即一重积分）
   4. 第一类曲面积分：$\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$ 中 2-形式诱导出的 $\mathrm{d}S=\sqrt{(\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y)^2+(\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z)^2+(\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x)^2}$，$\mathbb{R}^2$ 中等价于第二类（即二重积分）
   5. 三重积分：$\mathbb{R}^3$ 中的 3-形式，即第一第二类超曲面积分
7. 双曲平面：度量张量（两切向量内积） $\frac{\mathrm{d}x\otimes \mathrm{d}x+\mathrm{d}y\otimes \mathrm{d}y}{y^2}$，诱导距离 $\mathrm{d}s^2=\frac{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2}{y^2}$，测地线为与单位圆正交的圆弧，平行线有无数条，第一类曲线积分 $\mathrm{d}l=\frac{\sqrt{\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2}}{y}$，第一类曲面积分 $\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y}{y^2}$
8. $n$ 维定向流形：存在处处不为零的光滑 $n$-形式（$\omega_{i_1,\cdots,i_n}$ 有连续偏导且不全为零），等价于不包含任何拓扑等价于莫比乌斯带的子流形
9. 外导数：$\mathrm{d}(f)=\mathrm{d}f=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm{d}x^i,\mathrm{d}\circ\mathrm{d}=0$，对定向流形有 Stokes 定理 $\int_{\partial M} \omega=\int_M \mathrm{d}\omega$

四、博弈论

1. 核心：自身的策略要最大化对方的策略可能带来的最小收益
2. 序贯行动博弈：博弈树逆向归纳求解
3. 纳什均衡/鞍点：每个参与者的策略在给定其他参与者策略的情况下都是最优的
4. 连续型策略：最优反应曲线（对方每一个纯策略的最优策略）的交点为纳什均衡
5. 混合策略：最大化对方选择每一个纯策略所带来的最小期望收益
6. 最大最小值定理：零和博弈两个混合策略线性规划互为对偶，最优值相等（对偶定理）
7. 非常和博弈：纯策略或混合策略纳什均衡一定存在，但不一定是帕累托最优
8. 囚徒困境解法：有限重复（会坍缩）、无限重复、冷酷策略、以牙还牙、惩罚、领导