动力学基础

大二上学期动力学的复习笔记，目前更新至动力学普遍定理。

一、质点运动

1. 直角坐标

1. 标量三重积（混合积）：$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$
2. 矢量三重积：$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$

2. 自然坐标

1. 速度：$\mathbf{v}(t)=\dot{s}\boldsymbol{\tau}(s)$
2. 加速度：$\mathbf{a}(t)=\ddot{s}\boldsymbol{\tau}(s)+\frac{\dot{s}^2}{\rho}\mathbf{n}(s)=\mathbf{a}_\tau+\mathbf{a}_n$

3. 极坐标

1. 矢径：$\mathbf{r}(t)=\rho(t)\mathbf{e}_\rho(t)$
2. 速度：$\mathbf{v}(t)=\dot{\rho}\mathbf{e}_\rho+\rho\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi=\mathbf{v}_\rho+\mathbf{v}_\varphi$
3. 加速度：$\mathbf{a}(t)=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\mathbf{e}_\rho+(\rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi=\mathbf{a}_\rho+\mathbf{a}_\varphi$

二、刚体运动

1. 一般运动

1. 方程：$\mathbf{R}_O=\mathbf{R}_O(t),\mathbf{A}=\mathbf{A}(t)\ (3+3)$
2. 速度：$\mathbf{v}_P=\mathbf{v}O+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}{OP}$
3. 加速度：$\mathbf{a}P=\mathbf{a}O+\boldsymbol{\varepsilon}\times \mathbf{r}{OP}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}{OP})$
4. 速度有投影定理，加速度无投影定理

2. 平面运动

1. 方程：$\mathbf{R}_O=\mathbf{R}_O(t),\theta=\theta(t)\ (2+1)$
2. 角速度：$\boldsymbol{\omega}=\frac{\mathbf{v}B\cdot\boldsymbol{\rho}-\mathbf{v}A\cdot\boldsymbol{\rho}}{r{AB}}$，$\boldsymbol{\rho}$ 为 $\boldsymbol{\omega}{AB}\times \mathbf{r}_{AB}$ 的单位方向矢量
3. 速度：基点法（五个变量两个方程）、速度投影定理、瞬心法、点的运动学
4. 加速度：基点法（五个变量两个方程）、加速度瞬心法、点的运动学，$\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})=-\omega^2\mathbf{r}$

3. 定点运动

1. 瞬时转动轴：刚体或其延拓部分上两个瞬时速度为零的点
2. 角加速度：角速度端点的速度，$\boldsymbol{\varepsilon}_A=\boldsymbol{\omega}_C\times\boldsymbol{\omega}_A$
3. 思路：找瞬时转动轴 $\to$ 求角速度 $\to$ 求角加速度 $\to$ 求点的速度和加速度

三、复合运动

1. 点的复合运动

1. 绝对运动 $=$ 相对运动 $+$ 牵连运动
2. 速度：$\mathbf{v}=\mathbf{v}_O+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\rho}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_e+\mathbf{v}_r$
3. 加速度： $\mathbf{a}=\mathbf{a}_O+\boldsymbol{\varepsilon}\times \mathbf{r}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})+\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_r}{\mathrm{d}t}+2\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{v}_r=\mathbf{a}_e+\mathbf{a}_r+\mathbf{a}_c$
4. 思路：动点动系选在不同刚体上；动点的相对轨迹简单

2. 刚体复合运动

1. 相对运动：刚体相对动系作定点运动，动系相对定系作定点运动
2. 角速度：$\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_e+\boldsymbol{\omega}_r$
3. 角加速度：$\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{\varepsilon}_e+\boldsymbol{\varepsilon}_r+\boldsymbol{\omega}_e\times \boldsymbol{\omega}_r$

四、动力学基本概念

1. 微分方程

1. $F=F(t)$：$\int_{t_0}^t F(t)\mathrm{d}t=m\dot{x}-m\dot{x}_0$（质点动量定理）
2. $F=F(v)$：$\int_{v_0}^v \frac{m}{F(v)}\mathrm{d}v=t-t_0$
3. $F=F(x)$：$\int_{x_0}^x F(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}m v^2-\frac{1}{2}m v_0^2$（质点动能定理）
4. 二阶线性常微分方程：$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y^*(x)$，互异实根 $y_1(x),y_2(x)=e^{\lambda_1 x},e^{\lambda_2 x}$，重根 $y_1(x),y_2(x)=e^{\lambda x},xe^{\lambda x}$，共轭复根 $y_1(x),y_2(x)=e^{\alpha x}\cos \beta x,e^{\alpha x}\sin \beta x$，特解常数变易 $y^*(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$

2. 非惯性系

1. 惯性力：牵连惯性力 $S_e=-m\mathbf{a}_e$，科氏惯性力 $S_c=-m\mathbf{a}_c$
2. 相对运动微分方程：$m\mathbf{a}_r=\mathbf{F}+\mathbf{S}_e+\mathbf{S}_c$

3. 力系

1. 主矢量：$\mathbf{R}=\sum \mathbf{F}_i$
2. 力对点的矩：$\mathbf{m}_O(\mathbf{F})=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$
3. 力对轴的矩：$\mathbf{m}_z(\mathbf{F})=\mathbf{m}_O(\mathbf{F})\cdot \hat{z}=\mathbf{m}O(\mathbf{F}{xy})$，$O$ 为轴与垂直面交点
4. 力系对点的主矩：$\mathbf{M}_O=\sum \mathbf{m}_O(\mathbf{F}_i)$
5. 力系对不同矩心的主矩：$\mathbf{M}_P=\mathbf{M}O+\mathbf{R}\times \mathbf{r}{OP}$
6. 力系的不变量：$\mathbf{R},\mathbf{R}\cdot \mathbf{M}_O$

五、动力学普遍定理

1. 动量定理

1. 质系动量：$\mathbf{P}=\sum m_i \mathbf{v}_i=m\mathbf{v}_C$
2. 质系动量定理：$\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{R}^\text{外}=m\mathbf{a}_C$（质心运动定理）
3. 投影形式只适用于固定轴

2. 动量矩定理

1. 质系对点的动量矩：$\mathbf{L}A=\sum \boldsymbol{\rho}{i}\times m_i \mathbf{v}_{i}$
2. 不同矩心：$\mathbf{L}_O=\mathbf{L}A+\mathbf{r}{OA}\times m\mathbf{v}_C$
3. 定点或质心：$\mathbf{L}C=\mathbf{L}{Cr}=\sum \boldsymbol{\rho}i\times m_i \mathbf{v}{ir}$
4. 定轴转动：$\mathbf{L}_z=J_z \boldsymbol{\omega}$，转动惯量 $J_z=\sum m_i \rho_i^2=m\rho_z^2$，$\rho_z$ 为物体对 $z$ 轴的回转半径
5. 常用转动惯量
   1. 均匀圆盘或圆柱：$J_C=\frac{1}{2}mR^2$
   2. 均匀细杆：$J_C=\frac{1}{12}mL^2$
   3. 球：$J_C=\frac{2}{5}mR^2$
6. 质系对点的动量矩定理：$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_A}{\mathrm{d}t}=\mathbf{M}_A^{\text{外}}+m\mathbf{v}_C\times \mathbf{v}_A$
7. 定点或质心：$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}=\mathbf{M}_O^{\text{外}}$
8. 定轴转动：$J_z\boldsymbol{\varepsilon}=\mathbf{M}_z^{\text{外}}$
9. 思路：应用质心运动定理和对质心的动量矩定理

3. 动能定理

1. 质系动能：$T=\frac{1}{2}\sum m_i v_i^2=\frac{1}{2}m v_C^2+J_C\omega^2$（柯尼希定理）
2. 元功：$\mathrm{d}^\prime A=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 或 $\mathbf{M}\mathrm{d}\theta$
3. 质系动能定理：$\mathrm{d}T=\sum \mathrm{d}^\prime A_i$，积分形式 $T_2-T_1=A_{1\to 2}$

4. 碰撞

1. 有限形式动量定理：$\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_1=\sum \mathbf{I}_i^\text{外}$，外冲量和为零则动量守恒
2. 有限形式动量矩定理：$\mathbf{L}{A2}-\mathbf{L}{A1}=\sum \mathbf{M}_A(\mathbf{I}_i^\text{外})$，外冲量矩和为零则动量矩守恒
3. 恢复系数：碰撞后法向相对速度与碰撞前法向相对速度之比
4. $\mathbf{u}{1n}=[(m_1-em_2)\mathbf{v}{1n}+(1+e)m_2\mathbf{v}{2n}]/(m_1+m_2)$，$\mathbf{u}{2n}=[(m_2-em_1)\mathbf{v}{2n}+(1+e)m_1\mathbf{v}{1n}]/(m_1+m_2)$
5. 动能损失：$\Delta T=\frac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)(\mathbf{v}{1n}-\mathbf{v}{2n})^2$