动力学基础

大二上学期动力学基础的复习笔记，目前已完结。

一、基本概念

1. 数学基础

1. 标量三重积：$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$
2. 矢量三重积：$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$
3. $F=F(t)$：$\displaystyle\int_{t_0}^t F(t)\mathrm{d}t=m\dot{x}-m\dot{x}_0$
4. $F=F(v)$：$\displaystyle\int_{v_0}^v \frac{m}{F(v)}\mathrm{d}v=t-t_0$
5. $F=F(x)$：$\displaystyle\int_{x_0}^x F(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}m v^2-\frac{1}{2}m v_0^2$
6. 二阶线性常微分方程：$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y^*(x)$，互异实根 $y_1(x),y_2(x)=e^{\lambda_1 x},e^{\lambda_2 x}$，重根 $y_1(x),y_2(x)=e^{\lambda x},xe^{\lambda x}$，共轭复根 $y_1(x),y_2(x)=e^{\alpha x}\cos \beta x,e^{\alpha x}\sin \beta x$，特解常数变易 $y^*(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)$

2. 约束及其分类

1. 单面/双面；几何/微分；完整/不完整；定常/非定常；理想/非理想（约束反力对虚位移无虚功）
2. 虚位移：几何法（定常约束，分析速度）、解析法（几何约束变分）
3. 自由度：独立虚位移数，$n=mN-r-s$，二/三维质点/刚体 $m=2/3/3/6$，$r/s$ 完整/非完整约束数
4. 广义坐标数：$k=mN-r$

二、运动学

1. 质点运动

1. 矢径：$\mathbf{r}(t)=\rho(t)\mathbf{e}_\rho(t)$
2. 速度：$\mathbf{v}(t)=\mathbf{v}_\rho+\mathbf{v}_\varphi=\dot{\rho}\mathbf{e}_\rho+\rho\dot{\varphi}\mathbf{e}_\varphi$
3. 加速度：$\mathbf{a}(t)=\mathbf{a}_\rho+\mathbf{a}_\varphi=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\mathbf{e}_\rho+(\rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi})\mathbf{e}_\varphi$

2. 刚体运动

1. 速度：基点法 $\mathbf{v_P}=\mathbf{v_O}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}_{OP}$、投影定理、瞬心法
2. 加速度：基点法 $\mathbf{a_P}=\mathbf{a_O}+\boldsymbol{\varepsilon}\times \mathbf{r_{OP}}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r_{OP}})$、加速度瞬心法（$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{r}$ 夹角恒定）
3. 基点法只能有两个未知量，分别向未知量方向投影
4. 定点运动：找瞬时转轴（刚体或其延拓部分上两个瞬时速度为零的点） $\to$ 求 $\boldsymbol{\omega}$ $\to$ 求 $\boldsymbol{\varepsilon}_A=\boldsymbol{\omega}_C\times\boldsymbol{\omega}_A$） $\to$ 求 $\mathbf{v},\mathbf{a}$

3. 点的复合运动

1. 绝对运动 $=$ 相对运动 $+$ 牵连运动
2. 速度：$\mathbf{v}=\mathbf{v}_O+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}+\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\rho}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_e+\mathbf{v}_r$
3. 加速度： $\mathbf{a}=\mathbf{a}_O+\boldsymbol{\varepsilon}\times \mathbf{r}+\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r})+\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_r}{\mathrm{d}t}+2\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{v}_r=\mathbf{a}_e+\mathbf{a}_r+\mathbf{a}_c$
4. 尽量让相对运动为直线，否则 $\mathbf{a_r}=\mathbf{a_{r\tau}}+\mathbf{a}_{rn}$

4. 刚体复合运动

1. 刚体相对动系作定点运动，动系相对定系作定点运动
2. 角速度：$\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_e+\boldsymbol{\omega}_r$
3. 角加速度：$\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{\varepsilon}_e+\boldsymbol{\varepsilon}_r+\boldsymbol{\omega}_e\times \boldsymbol{\omega}_r$
4. 三个叠加：以 $\boldsymbol{\omega}_1$ 为动系，$\boldsymbol{\omega}_r=\boldsymbol{\omega}_2+\boldsymbol{\omega}_3,\boldsymbol{\varepsilon}_r=\boldsymbol{\varepsilon}_2+\boldsymbol{\varepsilon}_3+\boldsymbol{\omega}_2\times \boldsymbol{\omega}_3$

三、动力学

1. 动量定理

1. 主矢量：$\mathbf{R}=\sum \mathbf{F}_i$
2. 质系动量：$\mathbf{P}=\sum m_i \mathbf{v}_i=m\mathbf{v}_C$
3. 质系动量定理：$\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{R}^\text{外}=m\mathbf{a}_C$
4. 投影形式只适用于固定轴

2. 动量矩定理

1. 力对点的矩：$\mathbf{m}_O(\mathbf{F})=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$
2. 力系对点的主矩：$\mathbf{M}_O=\sum \mathbf{m}_O(\mathbf{F}_i)$
3. 不同矩心：$\mathbf{M_P}=\mathbf{M_O}+\mathbf{R}\times \mathbf{r}_{OP}$
4. 质系对点的动量矩：$\mathbf{L_O}=\sum \mathbf{r_i}\times m_i \mathbf{v}_{i}$
5. 不同矩心：$\mathbf{L_P}=\mathbf{L_O}+m\mathbf{v_C}\times \mathbf{r}_{OP}$
6. 质心：$\mathbf{L_C}=\mathbf{L_{Cr}}=\sum \mathbf{r_i}\times m_i \mathbf{v_{ir}}=J_C\boldsymbol{\omega}$
7. 定轴转动：$\mathbf{L_z}=J_z \boldsymbol{\omega}=\sum m_i r_{iz}^2=m\rho_z^2$，$\rho_z$ 为物体对 $z$ 轴的回转半径
8. 常用转动惯量
   1. 均匀圆盘或圆柱：$J_C=\frac{1}{2}mR^2$
   2. 均匀细杆：$J_C=\frac{1}{12}mL^2$
   3. 球：$J_C=\frac{2}{5}mR^2$
   4. 长方形板：$J_C=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$
9. 质系对动点的动量矩定理：$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_A}{\mathrm{d}t}=\mathbf{M}_A^{\text{外}}+m\mathbf{v}_C\times \mathbf{v}_A$
10. 有心力则动量矩守恒

3. 动能定理

1. 质系动能：$T=\frac{1}{2}\sum m_i v_i^2=\frac{1}{2}m v_C^2+\frac{1}{2}J_C\omega^2$
2. 元功：$\mathrm{d}^\prime A=\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 或 $\mathbf{M}\mathrm{d}\theta$
3. 质系动能定理：$\mathrm{d}T=\sum \mathrm{d}^\prime A_i$，积分形式 $T_2-T_1=A_{1\to 2}$
4. 沿 $\alpha$ 夹角拉 $R$ 轮 $r$ 小轮的绳：$\frac{R\cos\alpha\pm r}{R}x$

5. 拉格朗日原理

1. 理想双面约束：$\sum (\mathbf{F}_i-m\mathbf{a}_i)\cdot \delta \mathbf{r}_i=0$
2. 广义坐标形式：完整约束，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j$
3. 主动力有势：动势 $L=T-V,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$，动势取极小则稳定
4. 动能的结构：$T=T_2+T_1+T_0$，定常约束 $T_1=T_0=0$
5. $L$ 不显含 $t$：$T_2-T_0+V=E$
6. $L$ 不显含 $q_j$：$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=C_j$

5. 碰撞

1. 有限形式动量定理：$\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_1=\sum \mathbf{I}_i^\text{外}$，外冲量和为零则动量守恒
2. 有限形式动量矩定理：$\mathbf{L_{A2}}-\mathbf{L_{A1}}=\sum \mathbf{M_A(\mathbf{I}_i^\text{外})}$，外冲量矩和为零则动量矩守恒
3. 思路：判断守恒 $\to$ 设碰撞冲量 $\to$ 动量定理和对质心的动量矩定理
4. 恢复系数 $e$：碰撞后法向相对速度与碰撞前法向相对速度之比
5. $\mathbf{v_{1n}}=[(m_1-em_2)\mathbf{u_{1n}}+(1+e)m_2\mathbf{u_{2n}}]/(m_1+m_2)$
6. 动能损失：$\Delta T=\frac{1}{2}\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(1-e^2)(\mathbf{u_{1n}}-\mathbf{u_{2n}})^2$

四、静力学

1. 力系简化

1. 平移定理：附加力偶，矩为原力对新点的矩
2. 二次简化：$\mathbf{r}_{OP}=\frac{\mathbf{R}\times \mathbf{M}_O}{R^2},\mathbf{M}_P=\frac{\mathbf{M_O}\cdot \mathbf{R}}{R^2}\mathbf{R}$
3. 分布平行力系：$d=\frac{M_O}{R}=\frac{\int_0^l xq(x)\mathrm{d}x}{\int_0^l q(x)\mathrm{d}x}$
4. 三力汇交原理、二力杆约束力沿两点连线

2. 刚体平衡方程

1. 空间一般力系：$R_x=R_y=R_z=M_{Ox}=M_{Oy}=M_{Oz}=0$
2. 空间汇交力系取 $R$，空间平行力系取 $R_z,M_{Ox},M_{Oy}$
3. 平面力系取 $R_x,R_y,M_{Oz}$ 或 $R_x,M_{Az},M_{Bz}$ 或 $M_{Az},M_{Bz},M_{Cz}$（不共线）
4. 思路：力矩轴与尽量多的未知力相交或平行

3. 虚功原理

1. 弹簧力的虚功：$\delta A=-F\delta l$
2. 理想约束平衡：$\sum \mathbf{F}_i\cdot \delta \mathbf{r}_i=\sum \delta A_i=0$，$\mathbf{F}$ 为主动力系
3. 广义坐标形式：完整约束，广义力 $Q_j=\sum \mathbf{F}_i\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j}=\frac{\delta A}{\delta q_j}=0$
4. 主动力有势：$Q_j=-\frac{\partial V}{\partial q_j}=0$，势函数取极小则稳定
5. 优点：不出现理想约束的约束力