大学物理B(1)
大一下学期大学物理B(1)的复习笔记，目前已完结。
一、力学
1. 牛顿运动定律
- $v=w\times r$
- $[F]=MLT^{-2}$
- 物体间相对静止 $\Rightarrow$ $a,v$ 相同
- 微分方程技巧：两边同乘 $ds$
- 科里奥利力：$F=2mv\times \omega$
- 傅科摆周期：$T=\frac{24h}{\sin \phi}$
2. 动量
- 动量定理、动量守恒定律仅适用于惯性系（若要在非惯性系，应考虑惯性力）
- 动量若在某一惯性系下守恒，则在任意惯性系下守恒
- 系统内力不影响系统总动量
- 质心系是零动量参考系
3. 角动量
- 角动量：$L=r\times p$
- 角动量定理：$\frac{dL}{dt}=M=r\times F,\int Mdt=L_2-L_1$
- 角动量守恒：平衡或有心力
- 角动量定理、角动量守恒仅适用于惯性系
- 系统内力矩不影响系统总角动量
- 质点系对原点的角动量$=$质心对原点的角动量$+$质点系对质心的角动量
- 角动量定理在质心系中适用
4. 功
- 功的数值取决于参考系的选取
- 内力能改变系统的总动能
- 动能定理、功能原理仅适用于惯性系
- 柯尼希定理：质点系总动能$=$质心动能$+$质点系相对质心的动能
- 一对力的功$=$其中一个质点受的力沿着它相对于另一个质点移动的路径所做的功（与参考系的选取无关）
- 推论：静摩擦力的功为零、正压力的功为零、滑动摩擦力的功为负
- 机械能守恒定律仅适用于惯性系，且在一个惯性系中机械能守恒并不代表在其他惯性系中机械能守恒
- 功能原理、机械能守恒定律在质心系中适用
- 伯努利原理：$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\mathrm{const}$
5. 刚体转动
- 一般选取质心或瞬心为基点
- $a=\alpha \times r+\omega \times v$（旋转加速度$+$向轴加速度）
- 定轴转动定律：$M=J\alpha,J=\sum m_ir_i^2$
- 常用转动惯量
- 细圆环或圆筒：$J=mR^2$
- 均匀圆盘或圆柱：$J=\frac{1}{2}mR^2$
- 均匀细杆绕一端转动：$J=\frac{1}{3}mL^2$
- 均匀细杆绕中点转动：$J=\frac{1}{12}mL^2$
- 球的转动惯量：$J=\frac{2}{5}mR^2$
- 平行轴定理：$J=J_{\mathrm{cm}}+md^2$
- 对薄平板的正交轴定理：$J_z=J_x+J_y$
- 推论：薄圆盘一条直径轴转动：$J=\frac{1}{4}mR^2$
- 力矩的功：$W=\int M\mathrm{d}\theta$
- 定轴转动动能：$E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$
- 定轴转动角动量定理：$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(J\omega)}{\mathrm{d}t}=M$
- 定轴转动角动量守恒：$M=0,L=J\omega=\mathrm{const}$
6. 振动
- 简谐运动的判据
- 运动学方程、弹性力
- 动力学方程：$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2x$
- 能量特点：守恒 $+ E_p=\frac{1}{2}kx^2$
- 简谐运动的特征量
- $A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}$
- $\tan\varphi=-\frac{v_0}{\omega x_0}$
- 简谐运动的合成
- 同直线同频率同振幅，初相依次差常量：$A=a\dfrac{\sin\frac{n\delta}{2}}{\sin\frac{\delta}{2}},\varphi=\frac{n-1}{2}\delta+\varphi_0$
- 同直线不同频率：拍（一拍是半个）
- 相互垂直同频率：$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1A_2}\cos(\varphi_2-\varphi_1)=\sin^2(\varphi_2-\varphi_1)$（旋转矢量/相量图作图）
- $y$ 相位领先则为右旋（顺时针），$x$ 相位领先则为左旋（逆时针）
- 相互垂直不同频率：有简单整数比时为稳定封闭曲线（李萨如图）
- 阻尼振动
- 运动方程：$ma=-kx-\gamma v$
- 阻尼系数：$\beta=\frac{\gamma}{2m}$
- 弱阻尼（$\beta\lt\omega$）：$x=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi_0),\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$
- 鸣响时间：能量减少到起始的 $\frac{1}{e}$ 倍所需的时间
- 品质因数：鸣响时间内振动次数的 $2\pi $倍
- 过阻尼（$\beta\gt\omega$）：非周期振动
- 临界阻尼（$\beta=\omega$）：刚能做非周期振动，回到平衡位置的时间最短
- 受迫振动
- 运动方程：$ma=-kx-\gamma v+H\cos(\omega t)$
- 稳定振动解：$x=A\cos(\omega t+\varphi),A=\frac{H}{m\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4\beta^2\omega^2}},\tan\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega^2-\omega_0^2}$
7. 波动
- 波动方程：$\frac{\partial^2y}{\partial x^2}=\frac{1}{u^2}\frac{\partial^2y}{\partial t^2}$
- 形变
- 线变：$\frac{F}{S}=E\frac{\Delta l}{l_0}$，$E$：杨氏弹性模量
- 切变：$\frac{F}{S}=G\frac{\Delta d}{D}$，$G$：切变弹性模量
- 体变：$\Delta P=-K\frac{\Delta V}{V}$，$K$：体变弹性模量
- 切变弹性模量 $\lt$ 杨氏弹性模量
- 波速
- 弹性绳上的横波：$u=\sqrt{\frac{F}{\rho_l}}$，$\rho_l$：线密度
- 固体中的纵波：$u=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$
- 固体中的横波：$u=\sqrt{\frac{G}{\rho}}$
- 液体中的纵波：$u=\sqrt{\frac{K}{\rho_0}}$，$\rho_0$：无纵波时的流体密度
- 能量
- 能量密度 $w=w_k+w_p=\frac{1}{2}\rho u^2+\frac{1}{2}E\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2$
- $w_k=w_p,\overline{w}=\frac{1}{2}\rho \omega^2A^2$，$w$ 的圆频率为 $2\omega$
- 强度/平均能流密度：$I=\overline{S}=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho u\omega^2A^2$
- 媒质特性阻抗：$z=\rho u$，$z$ 大的为波密
- 折射率可以 $\lt 1$（玻璃，X光）
- 波的叠加原理 $\Leftrightarrow$ 波动方程的线性（振幅强度过大时形变与弹力不再呈线性，叠加原理失效）
- 相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定
- 由 $y_1=A\cos(\omega t-kx)$ 和 $y_2=A\cos(\omega t+kx)$ 叠加的驻波：$A_x=|2A\cos(kx)|$
- 驻波不传播能量，能量被封闭在波包内
- 波的反射
- 半波损失：波疏 $\to$ 波密反射
- 振幅关系：$A_1^\prime=\left|\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right|A_1$，$A_2=\frac{2z_1}{z_1+z_2}A_1$
- 反射比 $R$，透射比 $T$：能量，$R+T=1$
- 声波
- 声压：有声波时的压强 $-$ 无声波时的压强
- 声压振幅 $P_m=\rho_0u\omega A$
- 基准声强：$10^{-12}\mathrm{W/m^2}$，痛阈：$120\mathrm{dB}$
- 多普勒效应
- $S$ 和 $R$ 相互靠近时 $v_S,v_R$ 取正，风速与声速同向取正
- 多普勒频移：$\nu_S-\nu_R$
- 机械波：$\nu_R=\frac{u+v_R+v_w}{u-v_S+v_w}\nu_S$
- 运动不在二者连线上时取连线上的分量
- 电磁波：$\nu_R=\frac{\sqrt{c^2-v^2}}{c-|v|\cos\theta} \nu_S$
- 相速度：$u=\frac{\omega_1+\omega_2}{k_1+k_2}$，群速度：$u_g=\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2}$
二、相对论
1. 同时性的相对性
- 沿着两个惯性系相对运动方向发生的两个事件若在甲惯性系中观察是同时发生的，则在乙惯性系中观察就不是同时发生的，而是在甲惯性系运动的后方的那个事件先发生。
2. 运动学
- $\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\beta=\frac{u}{c}$
- $\displaystyle x^{\prime}=\gamma(x-ut),\displaystyle t^{\prime}=\gamma\left(t-\frac{\beta}{c}x\right)$
- $\displaystyle v^{\prime}_x=\frac{v_x-u}{1-\frac{uv_x}{c^2}},v^{\prime}_y=\frac{v_y}{\gamma(1-\frac{uv_x}{c^2})}$
- 时空间隔恒等式：$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=\mathrm{const}.$
3. 动力学
- 保持 $F=\frac{dp}{dt}$，$p=mv$ 不变
- $m=m_0\gamma$
- $F_n=ma_n=\gamma m_0a_n,F_t=\gamma^3 m_0a_t$
- 保持动能定理 $dE_k=Fd_r$ 不变
- $E_k=mc^2-m_0c^2=m_0c^2(\gamma-1)$
- 孤立系统内部进行一个过程时，总能量不变，动能与静止能量之间可以相互转化
- $E^2=E_0^2+p^2c^2$
- $\frac{E^2}{c^2}-p^2$ 是不变量
- 在 $\mathrm{Lorentz}$ 变换中，将 $x,t$ 用 $p_x,\frac{E}{c^2}$ 替换，即得动量和能量变换
4. 光子
- $m_0=0$
- $E=pc$
- $p=mc=\frac{h\nu}{c}$
- $m=\frac{E}{c^2}=\frac{h\nu}{c^2}$
三、热学
1. 温度与分子动理论
- 基本定义
- 热力学系统：大量微观粒子 $+$ 体积有限
- 孤立系统 $\to$ 绝热系统 $\to$ 封闭系统 $\to$ 开放系统
- 平衡态：系统内部无宏观的粒子和能量流动，宏观性质不变（$\neq$ 稳定态）
- 平衡条件：力学平衡 $+$ 热平衡 $+$ 相平衡 $+$ 化学平衡
- 物态参量：描写平衡态的宏观物理量；物态方程：态参量间的函数关系
- 基本定律
- 热力学第零定律：两个系统与第三个系统处于热平衡，则它们之间也处于热平衡
- 热力学第三定律：热力学零度是达不到的
- 饱和蒸汽压 $=$ 外压时液体沸腾
- 宏观公式
- 理想气体温标：水的三相点 $t_3=0.01\degree C$；华氏温标 $t_F=(32+1.8t_C)$
- 理想气体状态方程：$P=nkT$，$n$：分子数密度
- 普适气体常量 $R=8.31\mathrm{J/(mol\cdot K)}$；玻尔兹曼常数 $k=\frac{R}{N_A}=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$
- 恒温气压公式：$P=P_0e^{-\frac{Mgh}{RT}}$，$P_0$：地面气压
- 范氏方程：$(P+\frac{m^2}{M^2}\frac{a}{V^2})(V-\frac{m}{M}b)=\frac{m}{M}RT$，$a,b$：分子力、分子体积修正常数，可测
- 微观公式
- 平均碰撞频率：$\overline{z}=\sqrt{2}\pi d^2\overline{v}n$
- 平均自由程（相邻两次碰撞间的平均路程）：超过容器线度时视为 $\overline{\lambda}=l$，真空
- 自由度 $i=t+r+v=3N$，双原子分子 $r=2$，多原子分子 $r=3$
- 能量均分定理：分子能量中每具有一个平方项，就对应一个 $\frac{1}{2}kT$ 的平均能量
- 分子平均能量 $=(t+r+2v)\frac{1}{2}kT$（振动动能 $+$ 势能）；振动一般被冻结，低温下转动被冻结
- 速率分布函数：$f(v)=\frac{\mathrm{d}N_v}{N\mathrm{d}v},\int_0^\infty f(v)\mathrm{d}v=1$
- 无外场作用时：$f(v)=4\pi{(\frac{m}{2\pi kT})}^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}v^2$
- 最概然速率 $v_p$，平均速率 $\overline{v}$，均方根速率 $\sqrt{\overline{v^2}}$：$\sqrt{2},\sqrt{\frac{8}{\pi}},\sqrt{3}\times\sqrt{\frac{kT}{m}}$，分别描述速率分布、运动快慢或碰撞、平动动能
- 小区间内分子数比例：$\frac{\Delta N}{N}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}e^{-u^2}u^2\Delta u,\Delta u=\frac{\Delta v}{v_p}$
- 速度分布函数：$g(v)={(\frac{m}{2\pi kT})}^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{mv^2}{2kT}},F(\vec{v})=g(v_x)g(v_y)g(v_z)$
- 分子碰壁数 $\Gamma=\frac{1}{4}n\overline{v}$（分子越轻速度越大，漏的越快）
- 玻尔兹曼分布律：$\mathrm{d}N=Ce^{-\frac{\epsilon}{kT}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}v_x\mathrm{d}v_y\mathrm{d}v_z$，$e^{-\frac{\epsilon}{kT}}$：玻尔兹曼因子
- 输运过程
- 定体热容 $C_V=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}T}$，定体比热 $c_V=\frac{C_V}{Nm}$，$m$：分子质量
- $\kappa=\frac{1}{3}c_Vnm\overline{v}\overline{\lambda}$，与 $\sqrt{T}$ 成正比，与 $P$ 无关（$P$ 太小时 $\overline{\lambda}$ 退化为容器线度，与 $P$ 成正比）
- 傅里叶定律（热传导方程）：$\mathrm{d}Q=-\kappa(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x})_{x_0}\mathrm{d}S\mathrm{d}t$
- 粘滞系数 $\eta=\frac{1}{3}nm\overline{v}\overline{\lambda}$
- 内摩擦：$\mathrm{d}f=-\eta(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x})_{x_0}\mathrm{d}S$，$f$：黏力
- 扩散系数 $D=\frac{1}{3}\overline{v}\overline{\lambda}$
- 扩散：$\mathrm{d}M=-D(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}x})_{x_0}\mathrm{d}S\mathrm{d}t$，$M$：扩散量
- 数量级的概念
- 分子数密度：$3\times 10^{25}\mathrm{m}^{-3}$
- 分子直径：$10^{-10}\mathrm{m}$
- 热运动平均速度：$10^2\mathrm{m/s}$
- 平均碰撞次数：$10^{9}\mathrm{s}^{-1}$
- 平均自由程：$10^{-8}\mathrm{m}$
2. 热力学第一定律
- 准静态过程：每一状态都无限接近于平衡态，过程时间远大于弛豫时间（如 $\tau_p=\frac{L}{\overline{v}}$）
- 热力学第一定律：$Q=\Delta E+A$，$A\gt 0$：系统对外做功，$Q\gt 0$：系统吸热，适用于任何过程
- 热容
- 定体摩尔热容：$C_{V,m}=\frac{1}{\nu}\left(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}\right)_V$，$\nu$：物质的量
- 理想气体的定体摩尔热容：$C_{V,m}=\frac{i}{2}R$，$i$：分子自由度
- 定压摩尔热容：$C_{P,m}=\frac{1}{\nu}\left(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}\right)_P$
- 理想气体的定压摩尔热容：$C_{P,m}=C_{V,m}+R$
- 理想气体泊松比（比热比）：$\gamma=\frac{C_{P,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}{i}$
- 过程
- 绝热过程：被绝热材料包围或进行的较快而来不及热交换
- 理想气体准静态绝热过程：$PV^\gamma=\mathrm{const}$，$TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$，$\frac{P^{\gamma-1}}{T^\gamma}=\mathrm{const}$
- 理想气体多方过程：热容为常数，$PV^n=\mathrm{const}$，$C_m=C_{V,m}\left(\frac{\gamma-n}{1-n}\right)$
- 循环与热机
- 热机效率 $\eta=\frac{A}{Q_1}=1-\frac{|Q_2|}{Q_1}$
- 卡诺循环：只和两个恒温热库传递热量并对外做功的准静态无摩擦循环（两个等温 $+$ 两个绝热，顺时针）
- 闭合条件：$\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}\Rightarrow \frac{Q_1}{Q_2}=\frac{T_1}{T_2}$
- 致冷系数：$w=\frac{Q_2}{A}$
3. 热力学第二定律
- 热力学第二定律的表述
- 克劳修斯表述：热量不能自动的从低温物体传向高温物体 （制冷机不是自发过程）
- 开尔文表述：其唯一效果为热全部转变为功的过程是不可能的 （等温膨胀伴随了体积变化）
- 一切自发的宏观过程都是不可逆的
- 不可逆过程反向进行时系统和外界不能完全恢复原状 （不是不能反向进行）
- 玻尔兹曼熵公式：$S=k\ln\Omega$，$\Omega$：微观状态数，具有可加性
- 可逆过程：无摩擦、准静态，包括卡诺循环
- 克劳修斯等式：对可逆过程，$\oint \frac{\mathrm{d}Q}{T}=0$
- 克劳修斯熵：$S_2-S_1=\int_{1}^{2}\frac{\mathrm{d}Q}{T},\mathrm{d}Q=TdS$（可逆绝热时等熵）
- 理想气体熵增公式：$\Delta S=\nu C_{V,m}\ln\frac{T_2}{T_1}+\nu R\ln\frac{V_2}{V_1}$（速度熵 $+$ 位形熵）
- 熵增加原理：孤立系统内的一切过程 $\Delta S\geq 0$
大学物理B(1)
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