大学物理B(1)

大一下学期大学物理B(1)的复习笔记，目前更新至相对论。

一、力学

1. 牛顿运动定律
   1. $v=w\times r$
   2. $[F]=MLT^{-2}$
   3. 物体间相对静止 $\Rightarrow$ $a,v$ 相同
   4. 微分方程技巧：两边同乘 $ds$
   5. 科里奥利力：$F=2mv\times \omega$
   6. 傅科摆周期：$T=\frac{24h}{\sin \phi}$
2. 动量
   1. 动量定理、动量守恒定律仅适用于惯性系（若要在非惯性系，应考虑惯性力）
   2. 动量若在某一惯性系下守恒，则在任意惯性系下守恒
   3. 系统内力不影响系统总动量
   4. 质心系是零动量参考系
3. 角动量
   1. 角动量：$L=r\times p$
   2. 角动量定理：$\frac{dL}{dt}=M=r\times F,\int Mdt=L_2-L_1$
   3. 角动量守恒：平衡或有心力
   4. 角动量定理、角动量守恒仅适用于惯性系
   5. 系统内力矩不影响系统总角动量
   6. 质点系对原点的角动量$=$质心对原点的角动量$+$质点系对质心的角动量
   7. 角动量定理在质心系中适用
4. 功
   1. 功的数值取决于参考系的选取
   2. 内力能改变系统的总动能
   3. 动能定理、功能原理仅适用于惯性系
   4. 柯尼希定理：质点系总动能$=$质心动能$+$质点系相对质心的动能
   5. 一对力的功$=$其中一个质点受的力沿着它相对于另一个质点移动的路径所做的功（与参考系的选取无关）
   6. 推论：静摩擦力的功为零、正压力的功为零、滑动摩擦力的功为负
   7. 机械能守恒定律仅适用于惯性系，且在一个惯性系中机械能守恒并不代表在其他惯性系中机械能守恒
   8. 功能原理、机械能守恒定律在质心系中适用
   9. 伯努利原理：$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\mathrm{const}$
5. 刚体转动
   1. 一般选取质心或瞬心为基点
   2. $a=\alpha \times r+\omega \times v$（旋转加速度$+$向轴加速度）
   3. 定轴转动定律：$M=J\alpha,J=\sum m_ir_i^2$
   4. 常用转动惯量
      1. 细圆环或圆筒：$J=mR^2$
      2. 均匀圆盘或圆柱：$J=\frac{1}{2}mR^2$
      3. 均匀细杆绕一端转动：$J=\frac{1}{3}mL^2$
      4. 均匀细杆绕中点转动：$J=\frac{1}{12}mL^2$
      5. 球的转动惯量：$J=\frac{2}{5}mR^2$
   5. 平行轴定理：$J=J_{\mathrm{cm}}+md^2$
   6. 对薄平板的正交轴定理：$J_z=J_x+J_y$
   7. 推论：薄圆盘一条直径轴转动：$J=\frac{1}{4}mR^2$
   8. 力矩的功：$W=\int M\mathrm{d}\theta$
   9. 定轴转动动能：$E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$
   10. 定轴转动角动量定理：$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(J\omega)}{\mathrm{d}t}=M$
   11. 定轴转动角动量守恒：$M=0,L=J\omega=\mathrm{const}$

二、相对论

1. 同时性的相对性
   1. 沿着两个惯性系相对运动方向发生的两个事件若在甲惯性系中观察是同时发生的，则在乙惯性系中观察就不是同时发生的，而是在甲惯性系运动的后方的那个事件先发生。
2. 运动学
   1. $\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\beta=\frac{u}{c}$
   2. $\displaystyle x^{\prime}=\gamma(x-ut),\displaystyle t^{\prime}=\gamma\left(t-\frac{\beta}{c}x\right)$
   3. $\displaystyle v^{\prime}_x=\frac{v_x-u}{1-\frac{uv_x}{c^2}},v^{\prime}_y=\frac{v_y}{\gamma(1-\frac{uv_x}{c^2})}$
   4. 时空间隔恒等式：$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=\mathrm{const}.$
3. 动力学
   1. 保持 $F=\frac{dp}{dt}$，$p=mv$ 不变
   2. $m=m_0\gamma$
   3. $F_n=ma_n=\gamma m_0a_n,F_t=\gamma^3 m_0a_t$
   4. 保持动能定理 $dE_k=Fd_r$ 不变
   5. $E_k=mc^2-m_0c^2=m_0c^2(\gamma-1)$
   6. 孤立系统内部进行一个过程时，总能量不变，动能与静止能量之间可以相互转化
   7. $E^2=E_0^2+p^2c^2$
   8. $\frac{E^2}{c^2}-p^2$ 是不变量
   9. 在 $\mathrm{Lorentz}$ 变换中，将 $x,t$ 用 $p_x,\frac{E}{c^2}$ 替换，即得动量和能量变换
4. 光子
   1. $m_0=0$
   2. $E=pc$
   3. $p=mc=\frac{h\nu}{c}$
   4. $m=\frac{E}{c^2}=\frac{h\nu}{c^2}$