工程图学

大一下学期工程图学的复习笔记，目前更新至截切。

一、点线面

1. 投影

1. 投影面平行线
   1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实际大小
   2. 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离
2. 投影面垂直线
   1. 在其垂直的投影面上，投影有积聚性
   2. 另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴
3. 投影面垂直面
   1. 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。且反映空间平面与另外两投影面夹角的大小
   2. 另外两个投影面上的投影是类似形
4. 投影面平行面
   1. 在它所平行的投影面上的投影反映实形
   2. 另两个投影面上的投影积聚成直线，并且与相应的投影轴平行

2. 点线面的关系

1. 内部
   1. 平面上的直线
      1. 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内
      2. 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内
   2. 平面上的点
      1. 若点在平面内，则该点必属于平面内一直线
2. 平行
   1. 两直线平行
      1. 若空间两直线平行，则它们的各同名投影必然平行；反之亦然
      2. 一般情况下，任意两对同名投影平行即可以判定两直线空间也平行；若两直线是投影面平行线时，还需进一步判断，如通过求第三投影的方法等
   2. 直线与平面平行
      1. 若直线平行于平面内某一直线，则该直线平行于平面；反之，若直线平行于平面，则在平面内任一点必可作一直线与该直线平行
      2. 若一直线与某一投影面垂直面平行，则该平面有积聚性的投影与该直线的同名投影平行
   3. 两平面平行
      1. 若两平面内有一对相交直线对应平行，则该两平面平行
      2. 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行
3. 相交
   1. 两直线相交
      1. 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间点的投影规律；反之亦然
      2. 相叉不相交：同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律；“交点”是两直线上的一对重影点的投影
   2. 直线与平面相交
      1. 当直线或平面至少其一具有积聚性投影时，交点必在具有积聚性的投影上
      2. 一般位置：包含已知直线作一个特殊位置平面，求辅助平面与已知平面的交线，再求交线与已知直线的交点
   3. 平面与平面相交
      1. 当两平面中至少其一具有积聚性投影时，可利用积聚性投影解题
      2. 一般位置：转化为线面相交，包含已知直线作两个特殊位置平面
   4. 利用重影点判断可见性
4. 垂直
   1. 两直线垂直
      1. 当直角的一条边平行于投影面时，直角在该投影面上的投影仍为直角；反之亦然
      2. 一般位置：过线外点作一平面垂直于直线；求直线与平面的交点
   2. 直线与平面垂直
      1. 若直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线与该平面垂直
      2. 直线若垂直于平面，必垂直于平面上的所有直线，包含平面上的投影面平行线
      3. 若一条直线垂直于某一平面，则该直线在各投影面上的投影必定垂直于该平面的同名迹线
   3. 平面与平面垂直
      1. 使平面通过垂直于已知平面的直线
      2. 使平面垂直于已知平面上的一条直线

3. 换面法

1. 变换成投影面平行线
   1. 一次换面
   2. 新投影：反映直线的实长及与该侧平面倾角实际大小
2. 变换成投影面垂直线
   1. 两次换面：一般位置直线 $\to $ 投影面平行线 $\to $ 投影面垂直线
   2. 新投影：积聚为一点
3. 变换成投影面垂直面
   1. 一次换面：以投影面平行线为主
   2. 新投影：投影面平行线积聚为点，面积聚为线且反映平面与该侧平面倾角实际大小
4. 变换成投影面平行面
   1. 两次换面
   2. 新投影：反映图形的实际形状

二、体

1. 基本体

1. 圆锥：辅助直线或辅助圆
2. 球：辅助圆（本质：辅助平面）
3. 圆环：辅助圆（本质：辅助平面）

2. 截切

1. 平面体的截切
   1. 截交线的特点
      1. 封闭的平面多边形
      2. 截交线是截平面与立体表面的共有线（公有性）
      3. 截交线的每条边是截平面与棱面的交线
      4. 截交线的每个端点是截平面与棱线的交点
      5. 求截交线的实质是求两平面的交线
   2. 求法
      1. 棱线法：求各棱线与截平面的交点，然后连接而成
      2. 棱面法：求各棱面与截平面的交线，然后连接而成
   3. 步骤
      1. 空间分析：平面体的形状、截平面与体的相对位置（确定截交线的空间形状）
      2. 投影分析：截平面与投影面的相对位置（确定截交线的投影特性）
      3. 画出截交线的投影：棱线法或棱面法
2. 回转体的截切
   1. 截交线的特点
      1. 封闭的平面曲线和直线
   2. 求法
      1. 先找特殊点，补充中间点
      2. 将各点光滑地连接起来
   3. 平面截圆锥
      1. 过锥顶：两相交直线
      2. 圆、椭圆、抛物线、双曲线
   4. 平面截圆环
      1. 可以是一条或两条（波修斯曲线、伯努利曲线、卡西尼卵形线）