大二暑假自学笔记

大二暑假的自学笔记，由金融学基础、时间序列分析、金融数学、量化交易组成。

一、金融学基础

1. 宏观经济学

1. 宏观经济数据关系：GDP = 消费 + 投资 + 政府购买 + 净出口，净出口 = 资本净流出，储蓄 = GDP - 消费 - 政府购买 = 国内投资 + 资本净流出 = 私人储蓄（GDP - 税收 - 消费） + 政府储蓄（税收 - 政府购买）
2. 利率与汇率关系：储蓄抑制/投资激励/政府赤字提高利率，减少资本净流出，减少外汇市场中本国货币供给，货币升值；提高关税抑制进口，增加既定汇率下净出口，扩大外汇市场中本国货币需求，货币升值；资本外逃提高利率、增加资本净流出，货币贬值
3. 总需求影响物价：总供给产量长期与物价无关，短期与物价正相关，总需求产量短期与物价负相关，货币供给减少时总需求减少导致物价下降产量下降，直到预期物价下降后劳动力成本下降产量上升总供给增加物价下降
4. 总供给影响物价：短期总供给减少导致物价上升产量下降，劳动力成本先上升导致产量进一步下降，直到议价能力下降劳动力成本下降产量上升总供给增加，平衡回到原点；或通过政策扩大总需求物价上升
5. 政策影响货币供给：部分准备金银行制创造货币，央行发行债券、提高向银行发放贷款的贴现率（利率）以减少准备金量，降低法定准备金率、降低银行存入央行的准备金利息以降低准备金率，从而减少货币供给
6. 政策影响总需求：增加货币供给 = 降低利率，扩大既定物价下的总需求；增加政府购买、减税扩大总需求；股市繁荣扩大总需求，央行加息提高债券吸引力、减少货币供给抑制总需求导致企业利润下降，股价下跌
7. 通胀与失业率关系：总需求减少物价下降产量下降导致通胀下降失业率上升（在菲利普斯曲线上移动）、总供给减少物价上升产量下降导致通胀上升失业率上升（曲线整体移动），减少货币供给降低通胀伴随失业率的暂时上升，调整速度正相关于预期通胀变化速度
8. 计量经济学：横截面数据（同时间）、时间序列数据（同主体）、面板数据（多主体多时间），标准误差 = 标准差/样本量平方根
9. 市场有效性：弱有效技术分析无效，半强有效基本面分析无效，强有效内幕交易无效

2. 现值原理

1. ROE = 净利润/账面价值，股价 = 红利贴现，预期收益率 $\frac{\text{Div}_1+P_1-P_0}{P_0}$ = 红利收益率 $\frac{\text{Div}_1}{P_0}$ + 资本利得率 $\frac{P_1-P_0}{P_0}$
2. 设红利固定增长率 $g$ 时有 $P_0=\frac{\text{Div}_1}{r-g}$，即预期收益率 $r=\frac{\text{Div}_1}{P_0}+g$，设 $b$ 为固定留存收益率（发放 $1-b$ 红利）则 $g=\text{ROE}\cdot b$，$r$ 固定时 $b$ 越大 $g$ 越大 $\text{Div}_t$ 增长越快 $P_t$ 增长越快
3. 市盈率 P/E = 股价/每股净利润，b 和 ROE 不变时分子分母同时以 $g$ 增长，比值恒定为 $\frac{1-b}{r-\text{ROE}\cdot b}=\frac{1}{r}(1+\frac{\frac{\text{ROE}}{r}-1}{\frac{1}{b}-\frac{ROE}{r}})$，ROE 越大、b 越大 P/E 越大

3. CAPM

1. 马科维茨前沿：给定收益率下最小方差的风险资产组合，为双曲线，存在无风险资产时变成直线，有唯一切点组合
2. CAPM：切点组合和任一风险资产的线性组合画出一条和马科维茨前沿相切指向前沿内部的曲线，切点处有曲线切线和有效市场线斜率相同，有 $r_i=r_f+\beta_i(r_m-r_f),\beta_i=\frac{\text{Cov}(r_i,r_m)}{\text{Var}(r_m)}$，$r_m$ 可选取大盘指数（所有人购买切点组合时大盘等于切点）
3. 应用：詹森阿尔法 $r_i-r_f=\alpha_i+\beta_i(r_m-r_f)$，对 $r_i-r_f$ 和 $r_m-r_f$ 做线性回归；夏普比率 $(r_i-r_f)/\sigma_i$，切点组合最大

4. APT

1. 假设 $r_i=\mathbb{E}[r_i]+\beta_i F+\epsilon_i$，$F,\epsilon_i$ 为系统/非系统因素，且 $\mathbb{E}[F]=0,\mathbb{E}[\epsilon_i]=0,\text{Cov}(F,\epsilon_i)=0,\text{Cov}(\epsilon_i,\epsilon_j)=0$，充分分散化后有 $r_p=\mathbb{E}[r_p]+\beta_p F+\epsilon_p,\sigma_p^2=\beta_p^2\sigma_F^2+\sum_i w_i^2\sigma_{\epsilon_i}^2\approx \beta_p^2\sigma_F^2$
2. APT：若存在同 $\beta$ 且 $\mathbb{E}[r_p]$ 不同的分散组合则可无风险套利，故同 $\beta$ 的分散组合对应同 $\mathbb{E}[r_p]$（个股存在非系统因素无法无风险套利故可能错误定价），由于两基金分离故 $\mathbb{E}[r_i]=r_f+\beta_i(\mathbb{E}[r_m]-r_f)$，$\beta=1$ 的标准组合 $r_m$ 可任意选取
3. 多因素 APT：$r_i=\mathbb{E}[r_i]+\sum_{j=1}^k \beta_{ij}F_j+\epsilon_i$，$\mathbb{E}[F_j]=0,\mathbb{E}[\epsilon_i]=0,\text{Cov}(F_j,F_l)=0,\text{Cov}(F_j,\epsilon_i)=0,\text{Cov}(\epsilon_i,\epsilon_l)=0$，有 $\mathbb{E}[r_i]=r_f+\sum_{j=1}^k \beta_{ij}(\mathbb{E}[r_{F_j}]-r_f)$，$\beta_j=1$ 的标准组合 $r_{F_j}$ 需满足只对 $F_j$ 敏感

5. 二叉树方法

1. 博弈论方法：用期权和股票构造无风险资产，$V_0=aS_0+(U-aS_u)e^{-rt},a=\frac{U-D}{S_u-S_d}$
2. 概率方法：用股票和无风险资产复制期权，$V_0=e^{-rt}[qU+(1-q)D],e^{rt}S_0=qS_u+(1-q)S_d$，即使得股票贴现后为鞅的概率
3. 美式看涨期权：可以先卖空股票再在到期日按市场价和执行价的最小值买入，故不应提前行权，Black-Scholes 适用
4. 美式看跌期权：从后往前依次计算，每个节点取连锁法和立刻执行值的最大值，Black-Scholes 不适用

6. Black-Scholes 公式

1. 连续时间股票模型：$\mathrm{d}S_t=\mu S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ 由 Itô 引理有 $S_t=S_0\exp((\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma B_t)$
2. Black-Scholes 公式：用使得股票贴现后为鞅的无风险利率 $\mu=r$ 替代 $\mu$，有 $V_0=e^{-rt}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(S_0e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma\sqrt{t}x}-X)^+e^{-\frac{x^2}{2}}\mathrm{d}x$，解得 $V_0=S_0N(d_1)-Xe^{-rt}N(d_2),d_1=\frac{\ln\frac{S_0}{X}+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)t}{\sigma\sqrt{t}},d_2=d_1-\sigma\sqrt{t}$
3. 二叉树近似：$S_u=S_0e^{\sigma\sqrt{\frac{t}{n}}},p=\frac{1}{2}(1+\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\frac{t}{n}}),S_d=S_0e^{-\sigma\sqrt{\frac{t}{n}}},p=\frac{1}{2}(1-\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\frac{t}{n}})$，$n\to\infty$ 时二叉树近似 Black-Scholes 公式
4. 平价公式：买入一股股票 $S_0$ 和看跌期权 $P$、卖出一份看涨期权 $C$，到期收益总为执行价 $X$，$(S+P-C)e^{rt}=X$，有 $P=C-S+e^{-rt}X=-S_0N(-d_1)+Xe^{-rt}N(-d_2)$

二、时间序列分析

1. 基本概念

1. 时间序列：离散时间连续取值，时间之间可能相关
2. 白噪声：均值方差恒定、协方差为零，Poisson 白噪声 $\epsilon_n=N(n+1)-N(n)-\lambda\Rightarrow \mathrm{IWN}(0,\lambda)$
3. 正交/不相关：$\forall t,s,\mathbb{E}[X_tY_s]=0;\mathrm{Cov}(X_t,Y_s)=0$
4. 自协方差/自相关函数 ACVF/ACF：$\gamma_{t,s}=\mathrm{Cov}(X_t,X_s),\rho_{t,s}=\mathrm{Corr}(X_t,X_s)$
5. 弱/强平稳：均值恒定且 $\mathrm{Cov}(X_t,X_{t+k})$ 与 $t$ 无关，有 $\gamma_k=\mathrm{Cov}(X_t,X_{t+k}),\rho_k=\mathrm{Corr}(X_t,X_{t+k})=\frac{\gamma_k}{\gamma_0}$；联合分布不随时间平移改变
6. 偏自相关函数 PACF：$\phi_{kk}=\mathrm{Corr}(R_{t|t+1,\cdots,t+k-1},R_{t+k|t+1,\dots,t+k-1}),R_{t|t+1,\cdots,t+k-1}$ 为 $X_{t+1},\cdots,X_{t+k-1}$ 上线性回归对 $X_t$ 的残差，有 Durbin 公式 $\phi_{k+1,k+1}=\frac{\rho_{k+1}-\sum_{j=1}^k\phi_{kj}\rho_{k+1-j}}{1-\sum_{j=1}^k\phi_{kj}\rho_j},\phi_{k+1,j}=\phi_{kj}-\phi_{k+1,k+1}\phi_{k,k+1-j},j=1,\cdots,k$
7. PACF 展开式：$\phi_{kk} = \frac{\begin{vmatrix}1 & \rho_1 & \rho_2 & \cdots & \rho_{k-2} & \rho_1 \\\rho_1 & 1 & \rho_1 & \cdots & \rho_{k-3} & \rho_2 \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\\rho_{k-1} & \rho_{k-2} & \rho_{k-3} & \cdots & \rho_1 & \rho_k\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & \rho_1 & \rho_2 & \cdots & \rho_{k-2} & \rho_{k-1} \\\rho_1 & 1 & \rho_1 & \cdots & \rho_{k-3} & \rho_{k-2} \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\\rho_{k-1} & \rho_{k-2} & \rho_{k-3} & \cdots & \rho_1 & 1\end{vmatrix}}$
8. 参数估计：ACVF/ACF $\hat{\gamma_k}=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-k}(X_t-\bar{X})(X_{t+k}-\bar{X}),\hat{\rho_k}=\frac{\hat{\gamma_k}}{\hat{\gamma_0}}$，PACF 用 Durbin 公式或展开式计算
9. 自相关检验：Fuller 检验 $\sqrt{n}\hat{\rho_k}\sim N(0,1)\Rightarrow\sqrt{n}|\hat{\rho_k}|\geq z_{\alpha/2}$ 则拒绝 $k$ 水平上不相关原假设；Box-Pierce 检验 $Q_m=n\sum_{k=1}^m\hat{\rho_k}^2\sim \chi_m^2$ 用于检验 $1,\cdots,m$ 水平上不相关原假设；改进的 Ljung-Box 检验 $Q_m^*=n(n+2)\sum_{k=1}^m\frac{\hat{\rho_k}^2}{n-k}\sim \chi_m^2$，$m$ 通常取 $\ln n$
10. 方差稳定变换：若 $\mathrm{Var}(X)$ 与 $\mathbb{E}[X]$ 相关即 $\mathrm{Var}(X)=v(\mu)$，做变换 $f(\mu)=\int v(\mu)^{-1/2}\mathrm{d}\mu$ 可使 $\mathrm{Var}(f(X))$ 与 $\mathbb{E}[f(X)]$ 无关

2. ARMA 模型

1. $\mathrm{AR}(p)$ 模型：$y_t=\phi_1 y_{t-1}+\cdots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t$，$\epsilon_t\sim \mathrm{WN}(0,\sigma^2)$，$\phi(z)=1-\phi_1z-\cdots-\phi_pz^p$ 的根在单位圆外则弱平稳，可写作 $\mathrm{MA}(\infty), y_t=\frac{1}{\phi(B)}\epsilon_t$
2. $\mathrm{MA}(q)$ 模型：$y_t=\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}$，$\epsilon_t\sim \mathrm{WN}(0,\sigma^2)$，均值恒定、始终弱平稳，$\theta(z)=1+\theta_1z+\cdots+\theta_qz^q$ 的根在单位圆外则可逆（可根据 $y_t$ 序列推测 $\epsilon_t$），可写作 $\mathrm{AR}(\infty),\epsilon_t=\frac{1}{\theta(B)}y_t$
3. $\mathrm{ARMA}(p,q)$ 模型：$y_t=\phi_1 y_{t-1}+\cdots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}$，$\epsilon_t\sim \mathrm{WN}(0,\sigma^2)$，$\phi(z)$ 的根在单位圆外则弱平稳，$\theta(z)$ 的根在单位圆外则可逆，可写作 $\mathrm{MA}(\infty),y_t=\frac{\theta(B)}{\phi(B)}\epsilon_t$ 或 $\mathrm{AR}(\infty),\epsilon_t=\frac{\phi(B)}{\theta(B)}y_t$
4. $\mathrm{ARIMA}(p,d,q)$ 模型：做 $d$ 次差分后用 $\mathrm{ARMA}(p,q)$ 模型
5. $\mathrm{SARIMA}(p,d,q)\times (P,D,Q)_s$ 模型：$\Phi_P(B^s) \phi_p(B) (1-B)^d (1-B^s)^D \dot{y}_t = \theta_q(B) \Theta_Q(B^s) \epsilon_t$，可推广到多周期的通用 $\mathrm{ARIMA}$ 模型

3. 模型选择

1. Box-Jenkins 法：做数据变换（方差稳定、对数、截距、趋势项）$\Rightarrow$ 单位根检验确定 $d\Rightarrow$ 确定 $p,q\Rightarrow$ 参数估计 $\Rightarrow$ 对残差做检验 $\Rightarrow$ 预测
2. 单位根检验：$\mathrm{AR}(p)$ 存在 $n$ 重单位根 $\Rightarrow \phi_p(B)=\phi^\star_{p-n}(B)(1-B)^n$，$n$ 阶差分后变为弱平稳 $\mathrm{AR}(p-n)$，ADF 检验做回归 $\Delta y_t=\rho y_{t-1}+\alpha_1^\star \Delta y_{t-1}+\cdots+\alpha_{p-1}^\star \Delta y_{t-p+1}+\epsilon_t$，$\rho<0$ 时拒绝无单位根原假设；KPSS 检验 $\eta=\frac{1}{n^2s^2(l)}\sum_{t=1}^n\left(\sum_{j=1}^t\epsilon_j\right)^2$，$\epsilon_t$ 为去除截距和漂移项后的残差，$s^2(l)=\frac{1}{n}\sum_{t=1}^n\epsilon_t^2+\frac{2}{n}\sum_{j=1}^l(1-\frac{j}{l+1})\sum_{t=j+1}^n \epsilon_t\epsilon_{t-j}$
3. 相关函数法：迭代回归 $y_t = \sum_{i=1}^m \phi_i^{(m,k)} y_{t-i} + \sum_{j=1}^k \beta_j^{(m,k)} \epsilon_{t-j}^{(m, k-1)} + \epsilon_t,\epsilon_{t-j}^{(m, k-1)}$ 为假定 $\mathrm{MA}$ 阶数为 $k-1$ 时的残差，用滤除 $\mathrm{AR}$ 效应后的 $w_t^{(m,k)} = y_t - \hat{\phi_1}^{(m,k)} y_{t-1} - \hat{\phi_2}^{(m,k)} y_{t-2} - \dots - \hat{\phi_m}^{(m,k)} y_{t-m}$ 计算 EACF，$\mathrm{ARMA}(p,q)$ 在 $(p,q+1)$ 及右下角不显著
4. 信息准则法：最小化模型选择准则值 $\mathrm{MSC(p,q)}=\ln(\tilde{\sigma}^2(p,q))+c_n\psi(p,q),\tilde{\sigma}^2(p,q)$ 为拟合 $\mathrm{ARMA}(p,q)$ 模型后残差的方差，正则项 AIC $\frac{2}{n}(p+q)$，BIC $\frac{\ln(n)}{n}(p+q)$
5. 参数估计：最大似然估计 $\hat{\phi_1},\cdots,\hat{\phi_p},\hat{\theta_1},\cdots,\hat{\theta_q},\hat{\sigma^2}=\arg\max f(y_1,\cdots,y_n|\phi_1,\cdots,\phi_p,\theta_1,\cdots,\theta_q,\sigma^2)$，条件最小二乘估计递归计算残差 $\epsilon_t$（假设最初几个 $\epsilon=0$），$\hat{\mathbf{\phi}},\hat{\mathbf{\theta}}=\arg\min \sum_{t=1}^n\epsilon_t^2,\hat{\sigma^2}=\frac{1}{n-(p+q+1)}\sum_{t=1}^n\epsilon_t^2$
6. 扩展 Yule-Walker 估计：$\begin{bmatrix}\rho_{q+1} \\\rho_{q+2} \\\vdots \\\rho_{q+p}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\rho_q & \rho_{q-1} & \cdots & \rho_{q+2-p} & \rho_{q+1-p} \\\rho_{q+1} & \rho_q & \cdots & \rho_{q+3-p} & \rho_{q+2-p} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\rho_{q+p-1} & \rho_{q+p-2} & \cdots & \rho_{q+1} & \rho_q\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\phi_1 \\\phi_2 \\\vdots \\\phi_p\end{bmatrix}$，估计 $\rho_k$ 后代入解得 $\hat{\mathbf{\phi}}$，再化为 $\mathrm{MA}(q)$ 模型估计 $\hat{\mathbf{\theta}}$，$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n - p} \sum_{t=p+1}^n \hat{\epsilon}_t^2$
7. 残差检验：自相关检验；条件异方差 McLeod-Li 检验（方差随时间波动）$\mathrm{McL}(m)=n(n+2) \sum_{k=1}^m \frac{[r_k(\hat{\epsilon}^2)]^2}{n-k}\sim \chi_{m-p-q}^2$，$m$ 通常取 $\ln n$；正态性 Jarque-Bera 检验 $\frac{n}{6} \hat{SK}_{\hat{\epsilon}}^2 + \frac{n}{24} (\hat{K}_{\hat{\epsilon}} - 3)^2 \sim \chi_2^2$，偏度 $\hat{SK}_{\hat{\epsilon}} = \frac{\hat{m}_3}{\sqrt{\hat{m}_2^3}}$，峰度 $\hat{K}_{\hat{\epsilon}} = \frac{\hat{m}_4}{\hat{m}_2^2}$，其中 $\hat{m}_j = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n \hat{\epsilon}_t^j$
8. 异常值检验：加性/革新性异常值 AO/IO 为作用在 $y_t$ 或 $\epsilon_t$ 上的脉冲函数，对 $\mathrm{AR}(\infty)$ IO 有残差 $a_T=\omega_I+\epsilon_T$，统计量 $\lambda_{I, T} = \frac{a_T}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$，未知时刻取最大统计量并提高临界值；AO 有残差 $a_t = -\omega_A \pi_{t-T} + \epsilon_t,\pi_0=-1,a_t$ 对 $\pi_{t-T}$ 回归得统计量 $\lambda_{A, T} = \frac{\hat{\omega_{A, T}}}{\rho \sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1),\rho^2 = \frac{1}{\sum_{t=T}^n \pi_{t-T}^2}$，取 IO/AO 中更显著的并迭代修正
9. 预测：条件期望预测法 $y_{t+h|t}=\mathbb{E}[y_{t+h}|\mathcal{F_t}]$、线性投影预测法 $y^\star_{t+h|t}=\sum_{j=0}^\infty c_jy_{t-j},\mathbf{c}=\arg\min_{\mathbf{c}}\mathbb{E}[(y_{t+h}-\sum_{j=0}^\infty c_jy_{t-j})^2]$

4. 多序列分析

1. 交叉协方差/交叉自相关函数 CCF：$\gamma_{X,Y}(t,s)=\mathrm{Cov}(x_t,y_s)$，弱平稳有 $\rho_{X,Y}(k)=\mathrm{corr}(x_t,y_{t-k})$
2. 转移函数：$y_t=\nu(B)x_t+n_t$，$n_t$ 独立于 $x_t$，两者满足 ARMA 则称为 ARMAX 模型，参数化为 $\nu(B)=\frac{\omega(B)B^b}{\delta(B)}$ 表示阶数 $s$ 的短期冲击和阶数 $r$ 的内部机制，$x_t$ 白噪声有 $\rho_{xy}(k) = \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \nu_k$
3. 模型构建：预白化 $\Rightarrow$ 计算 $\nu(k)$ 与参数化形式对应 $\Rightarrow$ 计算 $n_t$ 并用合适模型拟合得 $y_t=\nu(B)x_t+\frac{\sigma(B)}{\phi(B)}a_t\Rightarrow$ 残差检验 $\Rightarrow$ 预测
4. 预白化：对 $x_t$ 用 $\mathrm{AR}(\infty)$ 拟合后取白噪声残差 $\epsilon_t$，对 $y_t$ 用同一 $\pi(B)$ 过滤得 $\tilde{y_t}$，计算 $\epsilon_t$ 和 $\tilde{y_t}$ 的 CCF 并做相关性检验
5. 残差检验：互相关检验 $a_t$ 和 $x_t$ CCF $\Rightarrow$ 自相关检验 $a_t$ ACF，不可颠倒
6. 多输入的转移函数：$y_t = \sum_{j=1}^{k} \nu_j(B) x_{j,t} +\frac{\theta(B)}{\phi(B)} a_t$，$x_{j,t}$ 互相独立可分别预白化计算 $\nu_j(B)$，否则需向量自回归

三、量化交易