自学(4)：计算机图形学

大二下学期的自学笔记，由 GAMES 101 课程组成。

一、变换

1. $\vec{a}\times \vec{b}=A*\vec{b}=\begin{bmatrix}0 & -a_z & a_y\\a_z & 0 & -a_x\\-a_y & a_x & 0\end{bmatrix}\vec{b}$，用于判断左右、内外
2. 仿射坐标：点 $(x,y,z,1)$，向量 $(x,y,z,0)$
3. 交比：直线上四点 $A,B,C,D$，$(A,B;C,D)=\frac{\vec{AC}/\vec{CB}}{\vec{AD}/\vec{DB}}$，射影变换前后保持不变
4. 欧拉角：绕 $x,y,z$ 轴旋转 $\alpha,\beta,\gamma$ 角，$R=R_z(\gamma)R_y(\beta)R_x(\alpha)$
5. 绕 $\vec{n}$ 轴旋转 $\alpha$ 角：$R(\vec{n},\alpha)=\cos\alpha I+(1-\cos\alpha)\vec{n}\vec{n}^T+\sin\alpha \begin{bmatrix}0 & -n_z & n_y\\n_z & 0 & -n_x\\-n_y & n_x & 0\end{bmatrix}$
6. 视角变换：把摄像机移动到原点，$y$ 轴向上，看向 $-z$
7. 正交投影：把长方体变换到 $[-1,1]^3$
8. 透视投影：把视锥压缩成长方体再正交投影，前平面不变，后平面压缩且中心点不变

二、几何

1. 隐式表示：$f(x,y,z)=0$、几何体加减、距离函数（可用于插值）、水平集
2. 显示表示：$(u,v)\to (x,y,z)$、点云、多边形网格
3. 贝塞尔曲线：三阶 $b_0^3(t)=(1-t)^3 b_0+3(1-t)^2tb_1+3(1-t)t^2b_2+t^3b_3$，为保证 $\mathbb{C}^1$ 连续需连接点处平分控制点
4. 贝塞尔曲面：16 个控制点，先沿 $u$ 求四条曲线，再对每个 $v$ 以四条曲线为控制点
5. 曲面细分：Loop 细分（三角形加三个中点，一拆四）、Catmull-Clark 细分（加边中点、面中心）
6. 曲面简化：边收缩，使用二次度量误差建优先队列，贪心收缩
7. 曲线坐标：切线（方向变化快慢为曲率）、法线（切向量导数）、副法线（叉乘，方向变化快慢为挠率）
8. 曲面第一基本形式：$I=E\mathrm{d}u^2+2F\mathrm{d}u\mathrm{d}v+G\mathrm{d}v^2,E=\vec{r_u}\cdot \vec{r_u},F=\vec{r_u}\cdot \vec{r_v},G=\vec{r_v}\cdot \vec{r_v}$，切向量 $\vec{r_u},\vec{r}_v$，法向量 $\vec{n}$
9. 曲面第二基本形式：$II=L\mathrm{d}u^2+2M\mathrm{d}u\mathrm{d}v+N\mathrm{d}v^2,L=\vec{n}\cdot \vec{r_{uu}},M=\vec{n}\cdot \vec{r_{uv}},N=\vec{n}\cdot \vec{r_{vv}}$，$r_uv$ 为二阶导数
10. 曲率：法曲率（沿切平面中某方向截曲面得平面曲线的曲率）$\kappa_n=\frac{II}{I}$，主曲率（法曲率最大最小值）$\kappa_1,\kappa_2$，平均曲率 $H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$，高斯曲率 $K=\kappa_1\kappa_2$ 与曲面在 $\mathbb{R}^3$ 中的嵌入无关

三、摄影

1. 视场：传感器大小、焦距，等效焦距为 35mm 传感器时
2. 曝光：光圈直径、快门时间、ISO 倍数
3. 景深：对焦距离附近的清晰区间，焦距越长、光圈越大、对焦距离越近景深越浅
4. 光场：前后平面共四维，同物体不同角度、同角度不同物体
5. 光场相机：微透镜阵列，每一角度对应普通相机一张图，可后期调整焦距、光圈等
6. 颜色：光谱与视锥细胞响应函数乘积，有同色异谱
7. 加色系统：sRGB（用三纯色调出纯频率，再调出光谱）、XYZ（人为定义，Y 代表亮度）、HSV（色调、饱和度、明度）、Lab（亮度、绿红轴、蓝黄轴，互补色原理）
8. 色彩空间：XYZ，固定 Y，$(x,y,z)=\frac{(X,Y,Z)}{X+Y+Z}$，$sRGB$ 为三角形
9. 减色系统：CMYK（品红黄青黑，印刷用）

四、光栅化

1. 三角形：判断像素中心是否在内部，可用先模糊或多重采样（MSAA）反走样
2. 反走样原理：采样等于时域上乘积等于频域上卷积（重复），高低频信号混叠，模糊等于低通滤波
3. 深度缓冲：逐像素记录最近深度
4. 着色模型：Blinn-Phong，环境光常数、漫反射（系数、平方反比、余弦）、高光（系数、平方反比、半程向量余弦幂）
5. 着色频率：逐平面、平面内插值顶点着色、平面内插值顶点法线
6. 插值方法：重心坐标（用三顶点坐标表示平面内点）、双线性（先 u 再 v，解决纹理过小）、Mipmap（预先计算指数级不同分辨率纹理，解决纹理过大），各向异性过滤（存长方形纹理）
7. 渲染管线：几何 $\to$ 纹理 $\to$ 着色 $\to$ 变换 $\to$ 光栅化
8. 高级纹理：环境光贴图、法线贴图、位移贴图
9. 阴影贴图：从光源视角渲染深度图，像素在深度图中对应位置深度小于等于该值则有光照

五、光线追踪

1. 传统方法：从视角发射光线，每次与场景相交时计算着色和反射折射，着色递归相加
2. 求交：$f(\vec{o}+t\vec{d})=0$，三角形先计算平面交点再判断内外或直接套公式
3. 加速结构：轴对齐包围盒、均匀网格、空间切分（KD 树、层次包围体）
4. 现代方法：辐射度量学 $\to$ 渲染方程 $\to$ 蒙特卡洛积分 $\to$ 路径追踪

六、动画

1. 基本方法：关键帧插值、物理模拟（质量弹簧、有限元、质点系统、逆运动学）、动捕
2. 质量弹簧系统：弹力、阻尼（相对速度在连线上的投影），可模拟布料（对角网格加跳连）
3. ODE 求解：欧拉法 $x^{t+\delta t}=x^t+\dot{x}^t\delta t$，中点法 $x^{t+\delta t}=x^t+\dot{x}_{\mathrm{mid}}\delta t$，隐式欧拉法 $x^{t+\delta t}=x^t+\dot{x}^{t+\delta t}\delta t$（逆向优化求解），四阶 Runge-Kutta 法
4. 流体模拟：质点位置基方法，分质点法（拉格朗日）、格点法（欧拉）、物质点法（混合）