杂谈 | 逆天高三模卷数学压轴一则

杂谈第二期，介绍了2025年WJXSAT考试数学压轴题的解法，题目难度较大，解法较为复杂。

题目

对定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 与正实数 $r$，定义 $S_r=\{x|x^2+f^2(x)\le r^2\}$.

若 $f(x)$ 满足对任意正实数 $r$，均有 $S_r=[-g(r),g(r)]$，其中 $g(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的可导函数，且$\forall x\gt 0,\begin{cases}g(x)\gt 0\\0\lt g^{\prime}(x)\lt 1\end{cases}$，

证明：$f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的严格增函数当且仅当 $\{x|f(x)\ge 0\}=[0,+\infty)$.

本题改编自公众号未来教研之星举办的 $\mathrm{WJXSAT}$ 考试，供题人为B站艺扬飞翔在出题，原题链接见页尾“阅读原文”。

题解

充分性：

证明：假设 $f(0)\neq 0$，设 $f(0)=m\neq 0$，则取 $r^2=\frac{1}{2}m^2$，$S_r$ 不包含 $0$，矛盾。

故 $f(0)=0$，又 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上严格递增，故 $\{x|f(x)\ge 0\}=[0,+\infty)$.

必要性：

先证明两个引理。

引理 $1$：令 $h(x)=x^2+f^2(x)$，则 $h(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上严格递减，$[0,+\infty)$ 上严格递增。

证明：先考虑 $[0,+\infty)$ 的情况，假设 $h(x)$ 不严格递增，分两种情况讨论：

$(\mathrm{i})$ $\exists x_1\lt x_2,h(x_1)\gt h(x_2)$，取 $r^2=h(x_2)$，则 $S_r$ 不包含 $x_1$，矛盾。

$(\mathrm{ii})$ $\exists x_1\lt x_2,h(x)$ 在 $[x_1,x_2]$ 上是常值函数，则 $\forall \epsilon\gt 0$，取 $r^2=h(x_2)-\epsilon$，$g(r)\lt x_1$，但 $r^2=h(x_2)$ 时，$g(r)\ge x_2$，则 $g(r)$ 不连续，矛盾。

故 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，同理可证 $h(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上严格递减。

由引理 $1$ 可得，则 $g(r)$ 为 $\sqrt{x^2+f^2(x)}(x\gt 0)$ 的反函数，由于 $g(r)$ 为定义在 $(0,+\infty)$ 上的可导函数，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导。

引理 $2$：$f(x)$ 为奇函数。

证明：由引理 $1$ 及其推论，$\forall x_0\gt 0$，取 $r_0^2=x_0^2+f^2(x_0)$，则 $g(r_0)=x_0,-g(r_0)=-x_0$，故 $(-x_0)^2+f^2(-x_0)=r_0^2$，则 $\forall x_0\gt 0,f^2(x_0)=f^2(-x_0)$.

假设 $\exists x_0\gt 0,f(x_0)=f(-x_0)$，则 $f(-x_0)=f(x_0)\gt 0$，但 $-x_0\lt 0$ 不在 $\{x|f(x)\ge 0\}$ 中，矛盾，故 $f(x)=-f(-x)$，$f(x)$ 为奇函数。

由引理 $2$ 可得，$\forall x\gt 0$，$f(x)\gt 0$.

接下来先考虑 $x\ge 0$ 的情况，由引理 $1$ 的推论，$g^{\prime}(r)\lt 1 \Rightarrow \forall x\gt 0,(\sqrt{x^2+f^2(x)})^{\prime}\gt 1$，即 $f^{\prime}(x)\gt \sqrt{(\frac{x}{f(x)})^2+1}-\frac{x}{f(x)}\gt 0$，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增。

又由引理 $2$，$f(x)$ 为奇函数，故 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上严格递增。

后记

目前标准答案尚未公布，题解为笔者自己的做法，解题过程中使用了连续性的定义和反函数的导数等高等知识，期待标答给出的纯初等解法。

个人认为本题难度过大，但题目质量还是很高的。