杂谈 | 一道高三一模数学题引发的思考

杂谈第一期，介绍了一道高三一模数学题的解法和思考。题目是关于函数的性质，涉及到一些高等数学的知识。

题目

上图为今年上海市崇明区高三数学一模压轴题最后一问的原题以及区教研组提供的参考答案。事实上，题设中的条件已经够强，只需要借助一些高等知识，就可以证明：满足条件的 $f$ 只能是零函数。

题解

为了证明 $f=0$，先证明两个引理：

引理 $1$：满足条件的 $f$ 若存在两个零点 $x_1\neq x_2$，则 $\forall x\in[x_1,x_2],f(x)=0$

证明：考虑函数 $g(x)=|f(x)|$，由 $g(x)$ 的连续性，$g$ 在 $[x_1,x_2]$ 上存在最大值，分两种情况讨论：

$(1)$ $g$ 在区间上的最大值在端点处取到，则自然有 $\forall x\in[x_1,x_2],|f(x)|=0\Leftrightarrow f(x)=0$ 成立

$(2)$ $g$ 在区间上的最大值在内点 $x_0$ 处取到，此时有 $g(x_0)\neq 0$，不妨设 $g(x_0)\gt 0$，则在 $x_0$ 的邻域上有 $g(x)=f(x)$ 或 $g(x)=-f(x)$，则 $g(x)$ 在 $x_0$ 处可导，因此由 $\mathrm{Fermat}$ 引理，有 $g^{\prime}(x_0)=0$，则 $g(x_0)=g^{\prime}(x_0)=0$，故也有 $\forall x\in[x_1,x_2],|f(x)|=0\Leftrightarrow f(x)=0$ 成立

引理 $2$：若函数在区间 $I$ 上不存在零点，则函数在该区间上单调

证明：若函数不单调，则 $\exists \xi\in I,s.t. f^{\prime}(\xi)=0$，则 $f(\xi)=0$，与函数在区间 $I$ 上不存在零点矛盾

接下来考虑 $f$ 的零点构成的集合 $S$，分四种情况讨论：

$(1)$ $S$ 不存在上下确界，则由引理 $1$，$S=\mathbb R$，则 $f=0$

$(2)$ $S$ 的上下确界中的一个不存在，不妨设下确界不存在，记 $S$ 的上确界为 $M$，则 $f$ 在 $[M,+\infty)$ 上单调，且 $f(M-1)=0$，由于添加零区间不影响函数的单调性，故 $f$ 在 $[M-1,+\infty)$ 上也单调，不妨设 $f$ 在 $[M-1,+\infty)$ 上单调递增，$f^{\prime}(x)\ge 0$，则由条件 $1$ 和 $f$ 的单调性有 $0\le f(x)\le f^{\prime}(x)$，此时考虑函数 $\displaystyle h(x)=\frac{f(x)}{e^x}$，$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)-f(x)}{e^x}\ge 0$，$h(x)$ 在 $[M-1,+\infty)$ 上单调递增，再将 $f(x)=h(x)e^x$ 代入条件 $2$，有 $\displaystyle 0\le h(x)\le \frac{\sqrt{2}}{e^x}$，由夹逼定理，则 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} h(x)=0$，又由于 $h(M-1)=0$，且 $h$ 在 $[M-1,+\infty)$ 上单调递增，故 $\forall x\in[M-1,+\infty),h(x)=0\Rightarrow f(x)=0$，而又由于引理 $1$， $(-\infty,M-1]\subset S$，故 $\forall x\in \mathbb R, f(x)=0$

$(3)$ $S$ 上下确界均存在，此时仿照 $(2)$ 即可

$(4)$ $S$ 为空集，不妨设 $f\gt 0$，记 $f(0)=m_0\gt 0$，由于 $f$ 在 $\mathbb R$ 上单调，再分两种情况讨论：

$(\mathrm{i})$ 若 $f$ 单调递增，则 $\forall x\in [0,+\infty),f^{\prime}(x)\ge f(x)\ge f(0)=m_0\gt 0$，显然与 $f$ 有界矛盾

$(\mathrm{ii})$ 若 $f$ 单调递减，考虑函数 $h(x)=f(-x)$，容易验证若 $f$ 满足条件，则 $h$ 也满足条件，且有 $h(0)\gt 0$，$h$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，由情况 $(\mathrm{i})$，$h$ 不存在，故 $f$ 也不存在，矛盾

综上，$f$ 满足条件当且仅当 $f=0$

后记

原题作为高三数学一模压轴题的最后一问，题设的条件显然欠妥；然而，改编后的题目却很适合作为微积分或数学分析的一道习题。

事实上，证明过程中的引理 $1$ 是今年上海交通大学高等数学 $\mathrm{A}(1)$ 期末考试的压轴题，而情况 $(2)$ 中构造的函数 $h$ 也是利用微分方程解决不等式问题的常见技巧。

希望能借这道题帮看到这篇文章的同学们回顾一下上学期所学的微积分知识，也祝同学们在微积分 $\mathrm{A}(1)$ 中取得满意的成绩。（笔者已经寄了，$\mathrm{qwq}$）