肆叁小灶第三讲 三大公式背后的“边界”之谜
肆叁小灶第三讲，介绍了微分型、外积与外导数的概念，并揭示了三大公式背后的“边界”之谜。
数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术。 -Poincare
笃实 43 班的同学们大家好。距离上一期肆叁小灶已经过去了接近一整个学期，暂缓更新的原因除了本学期学习任务的加重，也包括肆叁小灶进行转型的意图：我们希望，肆叁小灶不应局限于学委小组内部供稿，而应成为一个开放的平台，让所有有意愿分享的同学参与其中。我们预计会在明年的秋季学期正式开始转型，欢迎大家积极投稿。
在此之前，让我们先回到这期内容本身。在前几周的微积分课堂里，想必同学们都学习了 $\mathrm{Green},\mathrm{Gauss}$ 和 $\mathrm{Stokes}$ 三大公式。它们三者将我们先前学习的重积分与后面学习的曲线曲面积分联系在了一起，在有些时候可以简化计算。然而，这三个公式互相类似而又各不相同的特点导致了记忆上的困难，而且很容易有一种直觉：三者似乎是一个更大公式的不同特例。
其实，这个伏笔从本学期的第一节微积分课上就已经埋下了。请大家先思考一个似乎无关紧要的问题：为什么“边界”的符号和偏导数的符号一样，都是 $\partial$？现在回过头看，这是否在暗示些什么？实际上，这个问题本身确实和三大公式之间有着紧密的联系。但揭开这重关系需要一些更高阶的数学知识，我们将在这期推送中为大家作简要介绍，并最终揭开三大公式背后的“边界”之谜。
一、从微分到微分型
首先，在我们积分各种 $f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z$ 时，我们到底在干什么？到底什么是 $\mathrm{d}x$？微积分 A1 告诉我们，$\mathrm{d}x$ 是 $x$ 的无穷小量，这自然是对的，但我们也可以换一个视角：我们可以把 $\mathrm{d}x$ 看成一个“函数”或者一个“映射”，它的效果是接收一个向量，并输出它自己的 $x$ 坐标。比如有一个三维向量 $[0.001,0.002,0.003]$，那么 $\mathrm{d}x$ 就把它转化为了 $0.001$。不难发现，这是一个从 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性映射。
而对于一段曲线 $\gamma$，不妨将其看成无数个无穷小向量连成的串串。也就是说，$\int_\gamma \mathrm{d}x$ 就是用 $\mathrm{d}x$ 这个映射接收所有这些无穷小的向量，并且把结果加起来。从这个角度，$\int_\gamma \mathrm{d}x$ 实际上就是在问 $\gamma$ 在 $x$ 轴方向上总共变化了多少。
那么，什么是 $f\mathrm{d}x$ 呢？它和 $\mathrm{d}x$ 一样，也是对无穷小向量的一个映射，不过比 $\mathrm{d}x$ 略为复杂：它的转化方法是，用 $f$ 在这个向量的出发点上的值去乘以 $\mathrm{d}x$，也即 $\mathrm{d}v$ 的 $x$ 坐标。自然地，所谓 $\int_\gamma f\mathrm{d}x$ 就是用 $f\mathrm{d}x$ 去接收 $\gamma$ 上所有无穷小向量，再把结果加起来。
同理，$f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z$ 不过是把三个映射加了起来。与 $\mathrm{d}x$ 一样，$f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z$ 也是一个从 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性映射。把这个线性映射记作 $\omega=f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z$，我们称这样的 $\omega$ 为一个 1-微分型。高维空间下的1-微分型也是类似的，可以写作 $\omega=f_1\mathrm{d}x_1+f_2\mathrm{d}x_2+\cdots+f_n\mathrm{d}x_n$。
接下来我们考虑 2-微分型。题目中常见的 $\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$ 实际上就是一个三维空间中的 2-微分型，它的作用是接收一个空间中无穷小的平行四边形 $(\mathrm{d}v,\mathrm{d}w)$（注意这里的顺序给出了平行四边形的有向性），并输出这个小平行四边形在 $xy$ 平面上的有向投影面积。
自然地，这就等价于先把这两个向量投影到 $xy$ 平面上，再计算这两个投影向量张成的平行四边形面积。借助1-微分型的语言，一个三维向量 $\mathrm{d}v$ 在 $xy$ 平面上的投影就是 $\begin{bmatrix}\mathrm{d}x(\mathrm{d}v)\\\mathrm{d}y(\mathrm{d}v)\end{bmatrix}$。从而，线性代数的知识告诉我们，计算 $\mathrm{d}v,\mathrm{d}w$ 的投影向量所张成的平行四边形面积就等价于计算一个二阶方阵 $\begin{bmatrix}\mathrm{d}x(\mathrm{d}v) & \mathrm{d}x(\mathrm{d}w)\\\mathrm{d}y(\mathrm{d}v) & \mathrm{d}y(\mathrm{d}w)\end{bmatrix}$ 的行列式。
和1-微分型一样，我们也可以将 $\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y,\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x$ 前面乘上各自的系数 $f,g,h$ 后拼起来，得到三维空间下2-微分型的通式：$\omega=f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+g\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+h\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x$。高维空间下的2-微分型也是类似的，可以写作 $\omega=\sum f_{ij}\mathrm{d}x_i\wedge\mathrm{d}x_j$，其中 $i,j$ 取遍 $1,2,\cdots,n$。
普遍地，我们可以给出 $n$ 维空间下单个 $k$-微分型的定义：接收 $k$ 个有序的无穷小 $n$ 维向量，并输出某个有向的 $k$ 维无穷小投影平行体的体积，这也就等价于一个 $k$ 阶方阵的行列式。同理，$k$-微分型的通式就是把所有的单个 $k$-微分型乘上系数后加起来： $\omega=\sum f_{i_1i_2\cdots i_k}\mathrm{d}x_{i_1}\wedge\mathrm{d}x_{i_2}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x_{i_k}$，其中 $i_1,i_2,\cdots,i_k$ 取遍 $1,2,\cdots,n$。如果觉得这样写起来太麻烦，我们可以定义“复合角标”来简化书写：记复合角标 $I=(i_1,i_2,\cdots,i_k)$，则 $k$-微分型的通式可以简化为 $\omega=\sum f_I\mathrm{d}x_I$。
借助行列式的性质，我们自然有 $\mathrm{d}x_i\wedge\mathrm{d}x_j=-\mathrm{d}x_j\wedge\mathrm{d}x_i$，因为交换两行后行列式改变正负号：也就是说，微分型是反对称的。同理，$\mathrm{d}x_i\wedge\mathrm{d}x_i=0$。这一结论在后续的部分中会反复用到，请大家务必牢记。
同时，若 $k=n$，则 $\omega=\sum f_I\mathrm{d}x_I$ 只剩下了一项，这一项就是 $n$ 维体积本身。这几乎是不证自明的：将 $n$ 维空间投影到 $n$ 维空间上，显然就是它本身。在二维和三维下，也就自然有 $\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$。
从而，用微分型的语言来说，我们有以下结论：
- 平面上的第二类曲线积分等价于对一个二维的1-微分型作积分
- 平面上的二重积分等价于对一个二维的2-微分型作积分
- 空间中的第二类曲线积分等价于对一个三维的1-微分型作积分
- 空间中的第二类曲面积分等价于对一个三维的2-微分型作积分
- 空间中的三重积分等价于对一个三维的3-微分型作积分
我们也就不难发现，三大公式其实说的是这么一回事：
- $\mathrm{Green}$ 公式：二维的1-微分型与2-微分型的积分有联系
- $\mathrm{Gauss}$ 公式：三维的2-微分型与3-微分型的积分有联系
- $\mathrm{Stokes}$ 公式：三维的1-微分型与2-微分型的积分有联系
难道说，$n$ 维下 $k$-微分型与 $k$+1-微分型的积分之间都有联系？这一猜想需要外积与外导数的概念得以支撑。我们先来看看外积的定义。
二、外积与外导数
外积其实就是把两个微分型拼起来。外积与微分型的符号相同，都是 $\wedge$；若两个微分型都是单个的，则对于复合角标 $I,J$，有 $f\mathrm{d}x_I\wedge g\mathrm{d}x_J=fg\mathrm{d}x_{(I,J)}$。比如说，我们有 $\mathrm{d}x_{(1,2)}\wedge\mathrm{d}x_3=\mathrm{d}x_{(1,2,3)}$。特殊地，若 $(I,J)$ 中有重复的角标，运用微分型的反对称性，则 $\mathrm{d}x_{(I,J)}=0$；对于通式形式的微分型，运用乘法分配律即可，此处不加赘述。
而外导数则是对微分型求导的过程。比如说对于2-微分型 $\omega=f\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$，前文已经说明了 $\omega$ 本身也是一个映射，这里我们希望探求 $\omega$ 的微分性质，即当输入的无穷小向量的起点发生微小变化时，$\omega$ 的输出会发生怎样的变化。
先将 $\omega$ 写作 $f\cdot (\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)$，由乘法的求导法则我们知道对 $\omega$ 求导等于 $\mathrm{d}f\cdot (\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)+f\cdot \mathrm{d}(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)$。而 $\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$ 可以看作是一个“常数”：其在空间中每一个点的作用效果是相同的，都是计算到 $xy$ 平面的投影面积，故 $\mathrm{d}(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)=0$。因此我们有 $\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}f\cdot \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$，而 $\mathrm{d}f=\sum \frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i$，可见 $\mathrm{d}f$ 本身也是一个1-微分型，故 $\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}f\cdot \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$ 应当写成 $\mathrm{d}\omega=\mathrm{d}f\wedge \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$。外导数的一般定义运用乘法分配律即可，此处同样不加赘述。
三、“边界”之谜
至此，我们已经准备好了所有工具，可以开始着手一统三大公式了。
考虑 $\mathrm{d}(f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y)$，一通计算后我们发现这就等于 $(g^{\prime}_x-f^{\prime}_y)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y=(g^{\prime}_x-f^{\prime}_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，这恰好对应了求平面向量场旋度的过程，也对应了 $\mathrm{Green}$ 公式的左右两边。
考虑 $\mathrm{d}(f\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+g\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+h\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)$，经过计算可以验证这就等于 $(f^{\prime}_x+g^{\prime}_y+h^{\prime}_z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，这对应了求空间向量场散度的过程，也对应了 $\mathrm{Gauss}$ 公式的左右两边。
考虑 $\mathrm{d}(f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z)$，同样可以验证这就等于 $(g^{\prime}_x-f^{\prime}_y)\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z+(h^{\prime}_y-g^{\prime}_z)\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+(f^{\prime}_z-h^{\prime}_x)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y$，这对应了求空间向量场旋度的过程，也对应了 $\mathrm{Stokes}$ 公式的左右两边。
原来所谓梯度、旋度、散度，归根结底其实都是同一件事情，就是外导数。那么梯度、散度、旋度所对应的三大公式，自然也就是同一件事情，而这就是广义 $\mathrm{Stokes}$ 定理：
（广义 $\mathrm{Stokes}$ 定理） 对任意有向的 $k+1$ 维曲面 $S$ 和 $k$-微分型 $\omega$，都有 $$\int_S \mathrm{d}\omega=\int_{\partial S} \omega$$其中 $\partial S$ 是 $S$ 的边界，$\mathrm{d}\omega$ 是对 $\omega$ 求外导数。
实际上，在一维的情况下，$\mathrm{d}\omega$ 就是 $\mathrm{d}f$，而 $S$ 的边界就是 $[a,b]$ 的两个端点 $a,b$，所以 $\int_S \mathrm{d}\omega=\int_a^b \mathrm{d}f=f(b)-f(a)$，这就是我们熟悉的 $\mathrm{Newton-Leibnitz}$ 公式。因此，广义 $\mathrm{Stokes}$ 定理就是多元微积分里 $\mathrm{Newton-Leibnitz}$ 公式的推广，其核心思想可以概括为 “外部总的变化等于内部小变化之和”。
我们还可以发现一个有趣的事实：回忆线性代数，对 $\mathrm{Euclid}$ 空间上的双线性过程 $\langle v,w\rangle$，考虑实矩阵 $A$ 和其转置矩阵 $A^T$，我们有 $\langle Av,w\rangle=\langle v,A^Tw\rangle$。现在考虑积分 $\int_M\omega$，我们知道积分对于积分区域和被积函数都是线性的，这意味着积分也是一个双线性过程。不妨把 $\int_M\omega$ 写成 $\langle M,\omega\rangle$，那么广义 $\mathrm{Stokes}$ 定理告诉我们，$\langle M,\mathrm{d}\omega\rangle=\langle \partial M,\omega\rangle$。这等于在说，微分就是边界的转置。这也就解释了为什么边界的符号和偏导数的符号是一样的，都是 $\partial$。
事实上，上述结论还可以推广到酉空间；而在更一般的情况下，广义 $\mathrm{Stokes}$ 定理也可以推广到任意的微分流形上，我们在这里就不展开了，感兴趣的同学可以选修《高等线性代数选讲》、《复变函数》和《微分几何》。前两者是计算机系和前软院培养方案中的必修课，而后者则在我们院培养方案的4A和7B课组中，欢迎大家选修。
四、后记
微积分 A2 课程由于课时所限，大部分内容都局限于介绍计算方法，考试题型也大多是计算题。虽然这篇推送可能对于大家的考试没有直接帮助，但我们希望它能帮助大家更好地理解多元微积分的本质，帮助大家在今后的学习中更好地运用微积分的知识。
这篇推送的内容大部分来自杨一龙老师的《向量微积分》讲义，少数来自张友金老师的《数学分析》讲义。这里再给出一些资料，供大家参考，希望能帮助大家建立起对梯度、散度和旋度运算的直观理解：
最后，祝大家微积分期末考试顺利，取得理想的成绩！