大学物理B(2)
大二上学期大学物理B(2)的复习笔记，目前已完结。
四、电磁学
1. 静电场
- 电偶极矩 $\vec{p}=q\vec{l}$，从负电荷指向正电荷
- 均匀带电直线：$E_x=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0a}(\sin\theta_2-\sin\theta_1),E_y=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0a}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$
- 无限大均匀带电平面：$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
- 高斯定理：$\oiint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{\text{内}}$，适用于任何静电场（电介质的 $q$ 包括极化电荷）
- 静电场环路定理：$\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=0$
2. 电势
- 电荷系静电能：$W=\frac{1}{2}\sum q_i\phi_i,\phi_i$ 为其他电荷在 $q_i$ 处产生的电势
- 连续分布：$W=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}q\phi$，$\phi$ 为所有电荷在 $\mathrm{d}q$ 处产生的电势
3. 导体
- 静电平衡条件：内部无场无电荷等势（包括连接处），表面等势，场强垂直于表面
- 空腔导体可屏蔽外电场
- 电荷分布：内部无静电荷，与曲率正相关，可用点像法模拟
- 接地：电势为零（不一定无电荷）
4. 电介质
- 电极化强度：$\vec{P}=\frac{\sum\vec{p}}{\Delta V}=n\vec{p}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec{E}$
- 面极化电荷密度：$\sigma=\vec{P}\cdot \hat{n}$，$q_{\text{外}}^\prime=-q_{\text{内}}^\prime=\oiint \vec{P}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 电位移矢量：$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$
- 电介质高斯定理：$\oiint \vec{D}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\sum q_{\text{0内}}$
- 静电场边值关系：电位移法向连续，场强切向连续，$\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$
- 电容器能量 $W=\frac{1}{2}CU^2$
- 电场能量密度 $w=\frac{1}{2}\varepsilon E^2,W=\iiint w\mathrm{d}V$
5. 恒定电流
- 电流：$I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$，电流密度：$\vec{J}=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\vec{S}}$
- 恒定电流：$\oiint \vec{J}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=-\frac{\mathrm{d}q_{\text{内}}}{\mathrm{d}t}=0$，$\sum I_i=0$
- 恒定电场：电荷分布不随时间改变，满足高斯定理、环路定理，但导体静电不平衡、需要能量维持
- 电阻率：$\rho=\rho_0(1+\alpha t)$
- 电导率：$\sigma=\frac{1}{\rho},\vec{J}=\sigma \vec{E}$
- $-\sum(\pm)\varepsilon+\sum(\pm) IR=0$，电动势从负到正；$I$ 与回路绕向一致取正
- $\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}$，$\tau$ 为两次碰撞间的平均时间
- 焦耳定律：$p=\sigma E^2$，$p$ 为电流热功率密度（单位时间体积内能）
6. 磁场
- $\vec{E},\vec{D}$ 为极矢量（垂直反转，镜像面上平行），$\vec{B},\vec{H}$ 为轴矢量（平行反转，镜像面上垂直）
- 洛伦兹力：$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$
- 电流元磁场：$\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
- 载流直导线：$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi a}(\cos\phi_1-\cos\phi_2)$
- 螺线管：$B=\frac{1}{2}\mu_0 n I(\cos\phi_2-\cos\phi_1)$
- 无限大均匀载流平面：$B=\frac{\mu_0}{2}j$，$j$：面电流密度
- 磁偶极子：载有电流的小线圈，磁矩 $\vec{p}=I\vec{S}$
- 高斯定理：$\oiint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=0$，磁通量仅由公共边界线决定，可定义磁矢势 $\oint \vec{A}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\oiint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 安培环路定理：$\oint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\mu_0 \sum I_{\text{内}}$，$I_{\text{内}}$：与 $L$ 套连，与 $L$ 绕行方向右手螺旋取正
7. 磁力
- 安培力：$\mathrm{d}\vec{F}=I\mathrm{d}\vec{l}\times \vec{B}$
- 磁矩力矩：$\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$，可定义势能零点：$\vec{m}\perp \vec{B}$
- 磁矩在非均匀磁场中受力：$\vec{F}=\vec{m}\cdot \nabla\vec{B}$
8. 磁介质
- 磁化强度：$\vec{M}=\frac{\sum \vec{m}}{\Delta V}=n\vec{m}$
- 磁化电流：$I^\prime=\int\vec{M}\cdot \mathrm{d}\vec{l}$
- 面磁化电流密度：$j^\prime=\frac{\mathrm{d}I^\prime}{\mathrm{d}l}=\vec{M}\times \hat{n}$
- 磁化电流没有热效应，磁效应与传导电流相同
- 磁场强度：$\vec{H}=\frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\vec{M}=\frac{1}{\mu_0\mu_r}\vec{B}$（顺抗磁质）
- 磁介质环路定理：$\oint \vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\sum I_{\text{0内}}$
- 磁场的边值关系：磁场强度切向连续，磁感应强度法向连续，$\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}$
- 磁路定理：$\varepsilon_m=NI=\Phi_m\sum R_{mi}=\Phi_m\sum \frac{l_i}{\mu_0\mu_{ri} S_i}$
9. 电磁感应
- 动生电动势：$\mathrm{d}\varepsilon=(\vec{v}\times \vec{B})\cdot \mathrm{d}\vec{l}$
- 感生电动势：$\varepsilon=\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\oiint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 感生电场：非保守，电场线闭合，无源有旋
- 自感系数：$L=\frac{\Psi}{I}=-\frac{\varepsilon}{\mathrm{d}I/\mathrm{d}t}$
- 互感系数：$M_{12}=M_{21}=\frac{\Psi_{21}}{I_1}\ge 0$
- 顺串接 $L=L_1+L_2+2M$，逆串接 $L=L_1+L_2-2M$
- 磁能：$W=\frac{1}{2}LI^2$
- 磁能密度：$w_m=\frac{B^2}{2\mu},W=\iiint w_m\mathrm{d}V$
10. $\mathrm{Maxwell}$ 方程组
- 位移电流：$I_D=\frac{\partial}{\partial t}\Phi_D=\frac{\partial}{\partial t}\iint \vec{D}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
- 位移电流没有热效应，磁效应与传导电流相同
- 推广安培环路定理：$\oint \vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\sum I_{\text{0内}}+I_D$
- $\mathrm{Maxwell}$ 方程组：电磁场高斯定理、法拉第电磁感应定律、推广安培环路定理
- 电磁波波速：$u=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{n},n=\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}\approx \sqrt{\varepsilon_r}$
- $\vec{E},\vec{H},\vec{u}$ 右手螺旋，$\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H$
- 能量密度：$w=\frac{1}{2}(\varepsilon E^2+\mu H^2)$
- 能流密度 $\vec{S}$：单位时间通过单位面积能量
- 动量密度 $\vec{g}$：$E=pc$
五、光学
1. 干涉
- 光的叠加：$E^2=E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos(\Delta \phi)$
- 光程差：$\delta=n_2r_2-n_1r_1$，薄透镜的等光程性
- 半波损失：光疏到光密的反射
- 干涉条纹可见度：$V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}$
- 等倾干涉：$\delta=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\delta^\prime$，中间级次大
- 增透膜：$n_2=\sqrt{n_1n_3}$
- 迈克尔逊干涉仪：光程差改变量 $\Delta\delta=N\lambda$，平移改变两倍
2. 衍射
- 单缝衍射：$I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2,\alpha=\frac{\Delta\Phi}{2}=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$
- 次极大位置：$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\theta}=0$
- 圆孔衍射：半角宽度、最小分辨角 $\theta_{\mathrm{Airy}}=\theta_{\min}=1.22\frac{\lambda}{d}$
- 分辨本领：$R=\frac{1}{\theta_{\min}}$
- 光栅常数：$d=a+b$，$a$ 透光
- 多缝衍射：$I=I_0(\frac{\sin N\beta}{\sin \beta})^2(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2$，$\beta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}$
- 角色散本领：$D_\theta=\frac{\delta\theta}{\delta\lambda}=\frac{k}{d\cos\theta}$
- 光栅最小可分辨波长：$\Delta\lambda=\frac{\lambda}{kN}$，分辨本领 $R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}$
- 晶体衍射：布拉格公式 $2d\sin\theta=k\lambda$
3. 偏振
- 偏振态：$\left(\frac{E_x}{A}\right)^2+\left(\frac{E_y}{B}\right)^2+2\frac{E_x}{A}\frac{E_y}{B}\cos\delta= \sin^2\delta$
- 偏振度：$P=\frac{I_p}{I_n+I_p}$
- 布儒斯特定律：反射与折射垂直时反射光垂直线偏振
- 瑞利散射：微粒线度 $a\lt 0.1\lambda,I\propto\frac{1}{\lambda^4}$
- 入射自然光，散射光偏振度随角度变化
- e 光：不遵守折射定律，折射率不恒定，折射线不一定在入射面内，沿各方向速度不相等，振动在主平面内（光线方向与光轴构成的平面）
- 正晶体：$v_o\gt v_e$
- 光轴平行晶体表面且垂直于入射面：两光都满足折射定律但折射率不同
- 光轴在入射面内：e 光波面与波射线不一定垂直
六、量子物理
1. 波粒二象性
- 黑体辐出度：$M(T)=\sigma T^4$
- 单色辐出度：$M_\lambda(T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}$，峰值 $T\lambda_m=b$
- 康普顿散射：$\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)$
- 氢原子光谱：$mvr=n\hbar$，德布罗意驻波
- $E^2=p^2c^2+m_0^2c^4\Rightarrow$ 德布罗意波 $v\gt c$
- 波函数：模的平方为概率密度，可叠加、导函数连续
- 不确定关系：$\Delta x\Delta p_x\ge \frac{\hbar}{2}$，$\Delta E\Delta t\ge \frac{\hbar}{2}$
2. 薛定谔方程
- $\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\vec{r},t),\hat{H}\Psi=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$
- 定态：$\hat{H}\psi=E\psi,\Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})e^{-iEt/\hbar}$
- 算符乘波函数等于数乘波函数：称该波函数/倍数/方程为该算符的本征函数/本征值/本征方程
- 态叠加：归一化 $\sum C_n^2=1$
- 一维无限深方势阱：$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a},E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$，阱宽为德布罗意半波长整数倍
- 偶宇称态：波函数为偶数，$n$ 奇数
- 势垒穿透：$T=T_0e^{-\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}}$，$U_0>E$ 时指数衰减
- 谐振子：能级 $E_n=(n+\frac{1}{2})h\nu$，$n$ 偶数时原点处概率最大
3. 原子
- 轨道角动量：$L=\sqrt{l(l+1)}\hbar$，角量子数 $l=0,1,2,\ldots,n-1$，沿 $z$ 轴分量：$L_z=m_l\hbar$，磁量子数 $m_l=0,\pm 1,\pm 2,\ldots,\pm l$
- 自旋角动量：$S=\sqrt{s(s+1)}\hbar$，自旋量子数 $s=\frac{1}{2}$，沿 $z$ 轴分量：$S_z=m_s\hbar$，自旋磁量子数 $m_s=\pm \frac{1}{2}$
- 自旋磁矩：$\vec{\mu_s}=-\frac{e}{m_e}\vec{S}$，沿 $z$ 轴分量 $\mu_{sz}=\pm \mu_B=\pm \frac{\hbar e}{2m_e}$
- 能级分裂：除 $l=0$ 外，$E_{n,l,S}=E_{n,l}\pm \mu_B B$，自旋向上能量高
- 总角动量：$J=\sqrt{j(j+1)}\hbar$，$j=l\pm s$ 或 $\frac{1}{2}(l=0)$
- 原子状态表示：$n^{2s+1}L_j$，$L=S,P,D,F$ 对应 $l=0,1,2,3$，能级公式 $n+0.7l$
- 泡利不相容原理：$n,l,m_l,m_s$ 不全相同
- 纵模：沿谐振腔驻波，$2nL=k\lambda_k$
4. 固体
- 电子能量本征值：$E=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$
- 费米能级：可填充最高能级，$E_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2 n_s)^{2/3}=\frac{1}{2}mv_F^2=k_B T_F$（费米速度/温度）
- 态密度：$g(E)=\frac{\mathrm{d}n_s}{\mathrm{d}E}$
- 两原子靠近，成键态概率密度增大能量减小；晶体一半能带占据一半空闲
- 价带：填充有电子的最高能带；导带：金属不满带，半导体/绝缘体最低空带
- 禁带：布拉格反射极大，$\theta=\frac{\pi}{2},2a=n\lambda$
大学物理B(2)
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