大学物理B(2)

大二上学期大学物理B(2)的复习笔记，目前更新至光学。

四、电磁学

1. 静电场

1. 电偶极矩 $\vec{p}=q\vec{l}$，从负电荷指向正电荷
2. 均匀带电直线：$E_x=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0a}(\sin\theta_2-\sin\theta_1),E_y=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0a}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$
3. 无限大均匀带电平面：$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
4. 高斯定理：$\oiint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{\text{内}}$，适用于任何静电场（电介质的 $q$ 包括极化电荷）
5. 静电场环路定理：$\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=0$

2. 电势

1. 电荷系静电能：$W=\frac{1}{2}\sum q_i\phi_i,\phi_i$ 为其他电荷在 $q_i$ 处产生的电势
2. 连续分布：$W=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}q\phi$，$\phi$ 为所有电荷在 $\mathrm{d}q$ 处产生的电势

3. 导体

1. 静电平衡条件：内部无场无电荷等势（包括连接处），表面等势，场强垂直于表面
2. 空腔导体可屏蔽外电场
3. 电荷分布：内部无静电荷，与曲率正相关，可用点像法模拟
4. 接地：电势为零（不一定无电荷）

4. 电介质

1. 电极化强度：$\vec{P}=\frac{\sum\vec{p}}{\Delta V}=n\vec{p}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\vec{E}$
2. 面极化电荷密度：$\sigma=\vec{P}\cdot \hat{n}$，$q_{\text{外}}^\prime=-q_{\text{内}}^\prime=\oiint \vec{P}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
3. 电位移矢量：$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E}$
4. 电介质高斯定理：$\oiint \vec{D}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=\sum q_{\text{0内}}$
5. 静电场边值关系：电位移法向连续，场强切向连续，$\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$
6. 电容器能量 $W=\frac{1}{2}CU^2$
7. 电场能量密度 $w=\frac{1}{2}\varepsilon E^2,W=\iiint w\mathrm{d}V$

5. 恒定电流

1. 电流：$I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$，电流密度：$\vec{J}=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}\vec{S}}$
2. 恒定电流：$\oiint \vec{J}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=-\frac{\mathrm{d}q_{\text{内}}}{\mathrm{d}t}=0$，$\sum I_i=0$
3. 恒定电场：电荷分布不随时间改变，满足高斯定理、环路定理，但导体静电不平衡、需要能量维持
4. 电阻率：$\rho=\rho_0(1+\alpha t)$
5. 电导率：$\sigma=\frac{1}{\rho},\vec{J}=\sigma \vec{E}$
6. $-\sum(\pm)\varepsilon+\sum(\pm) IR=0$，电动势从负到正；$I$ 与回路绕向一致取正
7. $\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}$，$\tau$ 为两次碰撞间的平均时间
8. 焦耳定律：$p=\sigma E^2$，$p$ 为电流热功率密度（单位时间体积内能）

6. 磁场

1. $\vec{E},\vec{D}$ 为极矢量（垂直反转，镜像面上平行），$\vec{B},\vec{H}$ 为轴矢量（平行反转，镜像面上垂直）
2. 洛伦兹力：$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$
3. 电流元磁场：$\mathrm{d}\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
4. 载流直导线：$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi a}(\cos\phi_1-\cos\phi_2)$
5. 螺线管：$B=\frac{1}{2}\mu_0 n I(\cos\phi_2-\cos\phi_1)$
6. 无限大均匀载流平面：$B=\frac{\mu_0}{2}j$，$j$：面电流密度
7. 磁偶极子：载有电流的小线圈，磁矩 $\vec{p}=I\vec{S}$
8. 高斯定理：$\oiint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}=0$，磁通量仅由公共边界线决定，可定义磁矢势 $\oint \vec{A}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\oiint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
9. 安培环路定理：$\oint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\mu_0 \sum I_{\text{内}}$，$I_{\text{内}}$：与 $L$ 套连，与 $L$ 绕行方向右手螺旋取正

7. 磁力

1. 安培力：$\mathrm{d}\vec{F}=I\mathrm{d}\vec{l}\times \vec{B}$
2. 磁矩力矩：$\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$，可定义势能零点：$\vec{m}\perp \vec{B}$
3. 磁矩在非均匀磁场中受力：$\vec{F}=\vec{m}\cdot \nabla\vec{B}$

8. 磁介质

1. 磁化强度：$\vec{M}=\frac{\sum \vec{m}}{\Delta V}=n\vec{m}$
2. 磁化电流：$I^\prime=\int\vec{M}\cdot \mathrm{d}\vec{l}$
3. 面磁化电流密度：$j^\prime=\frac{\mathrm{d}I^\prime}{\mathrm{d}l}=\vec{M}\times \hat{n}$
4. 磁化电流没有热效应，磁效应与传导电流相同
5. 磁场强度：$\vec{H}=\frac{1}{\mu_0}\vec{B}-\vec{M}=\frac{1}{\mu_0\mu_r}\vec{B}$（顺抗磁质）
6. 磁介质环路定理：$\oint \vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\sum I_{\text{0内}}$
7. 磁场的边值关系：磁场强度切向连续，磁感应强度法向连续，$\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}$
8. 磁路定理：$\varepsilon_m=NI=\Phi_m\sum R_{mi}=\Phi_m\sum \frac{l_i}{\mu_0\mu_{ri} S_i}$

9. 电磁感应

1. 动生电动势：$\mathrm{d}\varepsilon=(\vec{v}\times \vec{B})\cdot \mathrm{d}\vec{l}$
2. 感生电动势：$\varepsilon=\oint \vec{E}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\oiint \vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
3. 感生电场：非保守，电场线闭合，无源有旋
4. 自感系数：$L=\frac{\Psi}{I}=-\frac{\varepsilon}{\mathrm{d}I/\mathrm{d}t}$
5. 互感系数：$M_{12}=M_{21}=\frac{\Psi_{21}}{I_1}\ge 0$
6. 顺串接 $L=L_1+L_2+2M$，逆串接 $L=L_1+L_2-2M$
7. 磁能：$W=\frac{1}{2}LI^2$
8. 磁能密度：$w_m=\frac{B^2}{2\mu},W=\iiint w_m\mathrm{d}V$

10. $\mathrm{Maxwell}$ 方程组

1. 位移电流：$I_D=\frac{\partial}{\partial t}\Phi_D=\frac{\partial}{\partial t}\iint \vec{D}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$
2. 位移电流没有热效应，磁效应与传导电流相同
3. 推广安培环路定理：$\oint \vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l}=\sum I_{\text{0内}}+I_D$
4. $\mathrm{Maxwell}$ 方程组：电磁场高斯定理、法拉第电磁感应定律、推广安培环路定理
5. 电磁波波速：$u=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\frac{c}{n},n=\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}\approx \sqrt{\varepsilon_r}$
6. $\vec{E},\vec{H},\vec{u}$ 右手螺旋，$\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H$
7. 能量密度：$w=\frac{1}{2}(\varepsilon E^2+\mu H^2)$
8. 能流密度 $\vec{S}$：单位时间通过单位面积能量
9. 动量密度 $\vec{g}$：$E=pc$